子集

A是B的子集，B是A的超集。

子集（英語：subset）亦称部分集合，为某集合中部分元素的集合；这时某集合则被称作这个子集的超集或母集。子集与超集的关系被称为“包含”。

如果集合$A$的任意一个元素都是集合$B$的元素（$\forall x\left({x\in A\rightarrow x\in B}\right)$，亦可写作$\forall x\in A\left({x\in B}\right)$），则集合$A$称为集合$B$的子集，记为$A\subseteq B$或$B\supseteq A$，读作“集合$A$包含于集合$B$”或“集合$B$包含集合$A$”。

即：$\forall x\in A$，有$x\in B$，则$A\subseteq B$。

若$A$和$B$为集合，且$A$的所有元素都是$B$的元素，则可表示為：

• $A$是$B$的子集（或称$A$包含于 $B$）；$A\subseteq B$
• $B$是$A$的超集／母集（或称$B$包含 $A$）；$B\supseteq A$

任何集合$B$皆是自身的子集（$B\subseteq B$）。而$B$的子集中不等于$B$的集合，称为真子集，若$A$是$B$的真子集，写作$A\subsetneqq B$。

定义

假设有$A$和$B$两个集合，如果$A$中的每个元素都在$B$中，则：

• $A$是$B$的子集，记作$A\subseteq B$

也可以说

• $B$是$A$的超集，记作$B\supseteq A$

如果$A$是$B$的子集，但$A$不等于$B$（即$B$中至少存在一个元素不在$A$中），则：

• $A$是$B$的真子集，记作$A\subsetneqq B$

也可以说

• $B$是$A$的真超集，记作$B\supsetneqq A$

符号

ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：

• 如果用$\subseteq$表示子集关系（包含关系），那么用$\subset$表示真子集关系（真包含关系）。
• 如果用$\subset$表示子集关系（包含关系），那么用$\subsetneqq$表示真子集关系（真包含关系）。

举例

• 集合$\left\{1,2\right\}$是集合$\left\{1,2,3\right\}$的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合$\{x:x$是大于2000的素数$\}$是集合$\{x:x$是大于1000的奇数$\}$的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作$\varnothing$，是任意集合$X$的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质

A是B的子集。

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若$A,B,C$是集合，则：

自反性：

• $A\subseteq A$

反对称性：

• 若$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，则$A=B$

传递性：

• 若$A\subseteq B$且$B\subseteq C$，则$A\subseteq C$

这个命题说明：对任意集合$S$，$S$的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若$A,B,C$是集合$S$的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• $\varnothing \subseteq A\subseteq S$（$\varnothing \subseteq A$由命題1給出）

存在并运算：

• $A\subseteq A\cup B$
• 若$A\subseteq C$且$B\subseteq C$，则$A\cup B\subseteq C$

存在交运算：

• $A\cap B\subseteq A$
• 若$C\subseteq A$且$C\subseteq B$，则$C\subseteq A\cap B$

命题4：对任意两个集合$A$和$B$，下列表述等价：

• $A\subseteq B$
• $A\cap B=A$
• $A\cup B=B$
• $A-B=\varnothing$
• $B'\subseteq A'$

这个命题说明：表述"$A\subseteq B$"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

参见

• 冪集：某集合的全部子集组成的集合。