拉回 (范畴论)

在数学分支范畴论中，拉回（也称为纤维积或笛卡尔方块）是由具有公共上域的两个态射 $f:X\rightarrow Z$ 与 $g:Y\rightarrow Z$ 组成的图表的极限。拉回经常写作

P=X\times _{Z}Y.\,

泛性质

明确地说，态射 $f$ 和 $g$ 的拉回由一个对象 $P$ 和两个态射 $p_{1}:P\rightarrow X$ 与 $p_{2}:P\rightarrow Y$ 组成，使得图表

交换。并且拉回 $(P,p_{1},p_{2})$ 对这个图表必须是通用的。这便是说，任何其它这样的三元组 $(Q,q_{1},q_{2})$ 一定存在惟一的 $u:Q\rightarrow P$ 使得图表

交换。和所有泛构造一样，拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。

一个cospan $X\rightarrow Z\leftarrow Y$ 的弱拉回是在cospan上面的锥只须满足弱泛性质，这就是说中间映射 $u:Q\rightarrow P$ 不必是惟一的。

在集合范畴中， $f$ 与 $g$ 的拉回是集合

X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\},\,

以及投影映射的限制 $\pi _{1}$ 与 $\pi _{2}$ 映到 $X\times _{Z}Y$ 。

这个例子启发另一种方式考虑拉回：作为态射 $f\circ p_{1}$ , $g\circ p_{2}:X\times Y\rightarrow Z$ 的等化子，这里 $X\times Y$ 是 $X$ 和 $Y$ 的二元积

而 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上，由极限存在定理，在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。

拉回的另一个例子来自纤维丛理论：给定一个纤维映射 $\pi :E\rightarrow B$ 以及一个连续映射 $f:X\rightarrow B$ ，拉回 $X\times _{B}E$ 是 $X$ 上的纤维丛，称为拉回丛。伴随的交换图表是纤维丛映射。

在任何具有终对象Z的范畴中，拉回 $X\times _{Z}Y$ 恰好是普通积 $X\times Y$ 。

如果 $X\times _{Z}Y$ 存在，那么 $Y\times _{Z}X$ 也存在，且存在态射 $X\times _{Z}Y\cong Y\times _{Z}X$ 。
单态射在拉回下不变：如果箭头 $f$ 单，那么它就是箭头 $p_{2}$ 。例如，在集合范畴中，如果 $X$ 是 $Z$ 的子集，那么对任何 $g:Y\rightarrow Z$ ，拉回 $X\times _{Z}Y$ 是 $X$ 在 $g$ 下的逆像。
同构态射也不变，因此 $X\times _{X}Y\cong Y$ 对任何映射 $Y\rightarrow X$ 成立。

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories （页面存档备份，存于互联网档案馆） (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
Cohn, Paul M.; Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 (Originally published in 1965, by Harper & Row).