非初等積分

数学上的非初等積分是指某反導數（或不定積分）是初等函數的反導數，但其自身不是初等函數。1835年的刘维尔定理證明了非初等積分存在。此定理也提供了Risch算法的基礎，可以判定哪些初等函數的反導數也是初等函數（不過不太容易）。

範例

以下是一些其反導數是非初等積分的函數範例：

• ${\sqrt {1-x^{4}}}$（椭圆积分）
• ${\frac {1}{\ln x}}$（对数积分）
• $e^{-x^{2}}$（误差函数、高斯积分）
• $\sin(x^{2})$ and $\cos(x^{2})$（菲涅耳積分）
• ${\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$（三角积分、狄利克雷積分）
• ${\frac {e^{-x}}{x}}$ （指数积分）
• $e^{e^{x}}\,$（可以用指數積分來表示）
• $\ln(\ln x)\,$（可以用對數積分來表示）
• ${x^{c-1}}e^{-x}$（不完全Γ函數），若$c=0,$其反導數可以用指數積分表示，若$c={\tfrac {1}{2}},$，可以用誤差函數表示，若$c=$是其他正數，其反導數是基礎函數。

一些常見的非初等積分有其名稱，也就是所謂的特殊函数，上述公式後面的括弧即為這些函數的名稱。

性質

非初等積分可以用泰勒级数來計算。就算一函數的反導數是非初等積分，其泰勒級數也是解析函数，可以像多項式一様逐項積分，因此其半導數也是泰勒級數，有相同的收敛半径。不過，就算積分是收斂的泰勒級數，其係數也沒有簡單的公式，必須逐項計算，其限制和積分的泰勒級數相同。

若要計算非初等積分的定積分，可以用數值積分近似。也有些情形是其不定積分無法用初等函數表示，但特定的定積分（可能是無限區間內的反常積分）可以用初等函數表示：例如著名的高斯积分 ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$。

初始函數積分的閉包即為劉維爾函數。

相關條目

• 代數函數
• 封閉形式
• 导数
• 微分代数
• 积分表
• 刘维尔定理 (微分代数)
• 理查森定理
• 符号积分
• 塔斯基的高中代數問題
• 超越函數

參考資料

• Integration of Nonelementary Functions, S.O.S MATHematics.com; accessed 7 Dec 2012.

延伸閱讀

• Williams, Dana P., NONELEMENTARY ANTIDERIVATIVES, 1 Dec 1993. Accessed January 24, 2014.