虛數單位

虛數單位$i$在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程$x^{2}+1=0$的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統$\mathbb {R}$延伸至复数系統$\mathbb {C}$。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式$x^{2}+1=0$就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為$i$，但在涉及电气、电机工程等电学相关领域时，则往往标记为$j$，这是为了避免与电流（记为$i(t)$或$i$）相混淆。

定義

$\ldots$

${{i}^{-{3}}}=i$

${{i}^{-{2}}}=-1$

${{i}^{-{1}}}=-i$

${{i}^{0}}=1$

${{i}^{1}}=i$

${{i}^{2}}=-1$

${{i}^{3}}=-i$

${{i}^{4}}=1$

${{i}^{5}}=i$

${{i}^{6}}=-1$

$\ldots$

虛數單位$i$定義為二次方程式$x^{2}+1=0$的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

${{x}^{2}}=-1$。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號$i$。很重要的一點是，$i$是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

$i={\sqrt {-{1}}}$

然而$i={\sqrt {-{1}}}$往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為$-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1$，但是-1不等於1。

但請注意：${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$成立的條件有$a$,$b$不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設$i$是一個未知數，然後依照$i$的定義，替代任何$i^{2}$的出現為-1。$i$的更高整數冪數也可以替代為$-i$，$1$，或$i$，根據下述方程式：

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$，

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1$，

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i$。

一般地，有以下的公式：

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

其中${\bmod {4}}$表示被4除的余数。

補充定义

虚数单位 $i$ 是复数域 $\mathbb {C}$ 中的一个基本元素，其核心性质由以下等价方式之一定义：

代数定义

作为二次方程 $x^{2}+1=0$ 的一个解。即，$i$ 是满足方程

$i^{2}=-1$

的数。由于该方程在实数域 $\mathbb {R}$ 内无解，引入 $i$ 是构造更广的数系——复数域的关键步骤。

作为有序对

在复数严格的公理化构造中，复数定义为有序对 $(a,b)$，其中 $a,b\in \mathbb {R}$。在此框架下，虚数单位 $i$ 被定义为有序对

$i:=(0,1)$。

而复数的乘法规则定义为 $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$。由此可验证：

$i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)=-1$。

这一定义完全绕开了“负数的平方根”这一初始概念，从而在逻辑上更为基础。

i和-i

方程$x^{2}=-1$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解$i$，那么$-i$（不等于$i$）也是一个解，由于这个方程是$i$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为$i$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然$-i$和$i$在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是$i$和$-i$之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

$-i^{2}=1$

$-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}$

正当的使用

虚数单位有时记为${\sqrt {-1}}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$仅对于非负的实数$a$和$b$才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$（不正确）

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$（不正确）

${\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i$（不正确）

与主平方根的关系

在复数域中，“平方根”是一个多值函数。对于非负实数 $a$，符号 ${\sqrt {a}}$ 通常指其唯一的非负实平方根（称为**算术平方根**或**主平方根**）。然而，对于负数或一般的复数，符号 ${\sqrt {z}}$ 必须明确其分支的选择。通常，复数的**主平方根**函数定义为其辐角落在区间 $(-\pi ,\pi ]$ 内的那个根。 在这种约定下，${\sqrt {-1}}$ 的主值是 $i$（而非 $-i$）。即便如此，涉及多个复数的主平方根的恒等式也普遍不成立。因此，在处理复数时，最安全且清晰的做法是直接使用符号 $i$ 及其基本性质 $i^{2}=-1$ 进行计算，避免对负数直接应用根号运算法则。

i的运算

虛數單位$i$的平方根在複平面的位置

利用复数的运算规则和欧拉公式，可以对虚数单位 $i$ 进行各种数学运算，包括平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除特殊说明外，均为与 $i$ 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

基本运算与幂循环

虚数单位 $i$ 的整数幂遵循一个周期为4的循环：

${\begin{aligned}i^{1}&=i,\\i^{2}&=-1,\\i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,\end{aligned}}$

一般地，对任意整数 $n$，有：

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

其中 ${\bmod {4}}$ 表示被4除的余数。

平方根

$i$ 的平方根为：

${\sqrt {i}}=\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

使用算术平方根符号表示其主值：

${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

其解法為先假設兩實數 $x$ 及 $y$，使得 $(x+iy)^{2}=i$，然后求解 $x,y$。

一般幂运算

利用欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$，可以将虚数单位表示为指数形式：

$i=e^{i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)}$，其中 $k\in \mathbb {Z}$ 为任意整数。

由此可推导出更一般的幂运算公式。设 $a,b,c\in \mathbb {R}$，且 $a>0$，则有：

• 以 $i$ 为指数的幂（实数的虚数次幂）：

$a^{i}=e^{i\ln a}=\cos(\ln a)+i\sin(\ln a)$

这是一个模为1的复数，其几何意义是在复平面上将点1旋转 $\ln a$ 弧度。

• 以虚数为指数的幂（实数底数的纯虚数次幂）：

$a^{bi}=e^{bi\ln a}=\cos(b\ln a)+i\sin(b\ln a)$

• 复数的复数次幂（最一般的情况）：

$a^{b+ci}=a^{b}\cdot a^{ci}=a^{b}\left[\cos(c\ln a)+i\sin(c\ln a)\right]$

此公式清晰地分离了结果在复平面上的**伸缩因子** $a^{b}$ 和**旋转因子** $a^{ci}$。

• 最为人熟知的特例：$i$ 的 $i$ 次幂

$i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}$，$k\in \mathbb {Z}$

代入不同的 $k$ 值，可計算出無限多的解。当 $k=0$ 時，得到其主值 $e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx$ 0.207879576...

对数

• 以 $i$ 为底的对数：

对于正实数 $x>0$，有：

$\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }=-i\cdot {\frac {2\ln x}{\pi }}$（取主值）

• 更一般地，对于正实数 $a>0$ 且 $a\neq 1$，以 $i$ 为底的对数可由换底公式导出：

$\log _{i}a={\frac {\ln a}{\ln i}}={\frac {\ln a}{i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)}}=-i\cdot {\frac {2\ln a}{(4k+1)\pi }}$， $k\in \mathbb {Z}$。

这是一个纯虚数，且由于 $\ln i$ 的多值性，其结果也有无穷多个值。

三角与双曲函数

以下恒等式揭示了虚数单位如何联系三角函数与双曲函数，这是欧拉公式的直接推论。对于实数 $x$：

${\begin{aligned}\cos(ix)&=\cosh x\\\sin(ix)&=i\sinh x\\\tan(ix)&=i\tanh x\end{aligned}}$

这些公式表明，对虚自变量的三角函数求值，会转化为实自变量的双曲函数。

作为直接应用，可以计算：

$\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx 1.54308064...$

$\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx (1.17520119...)i$

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
• Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128。

代码示例

以下是一些编程语言中定义虚数单位 $i$ 及进行基本复数运算的方法：

编程语言	示例代码 (定义虚数单位与基础运算)	备注与输出示例
Python	# 虚数单位用后缀 j 表示 i = 1j print(f"虚数单位 i = {i}") print(f"i 的平方 i² = {i ** 2}") # 输出：虚数单位 i = 1j # 输出：i 的平方 i² = (-1+0j) # 复数构造与运算 z1 = 3 + 4j # 复数字面量 z2 = complex(1, -2) # complex(实部, 虚部) 函数 print(f"复数 z1 = {z1}") print(f"复数 z2 = {z2}") print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}") # 加法：(4+2j) print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}") # 乘法：(11-2j) # 使用 cmath 模块进行更多运算 import cmath print(f"e^(i*π) = {cmath.exp(1j * cmath.pi)}") # 欧拉公式，近似 (-1+1.2246467991473532e-16j)	* Python 原生支持复数类型，属于 complex 类。 虚部使用后缀 j 或 J 表示。 可用 real 和 imag 属性获取实部与虚部。 cmath 模块提供复变函数。
C语言 (C99标准)	#include <complex.h> #include <stdio.h> int main(void) { // 宏 I 表示虚数单位 i double complex i = I; double complex z1 = 3.0 + 4.0 * I; double complex z2 = 1.0 - 2.0 * I; // 基本运算 double complex i_squared = i * i; double complex sum = z1 + z2; double complex product = z1 * z2; // 输出结果，creal()和cimag()分别提取实部和虚部 printf("i² = %.2f %+.2fi\n", creal(i_squared), cimag(i_squared)); // 输出：i² = -1.00 +0.00i printf("z1 + z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(sum), cimag(sum)); // 输出：z1 + z2 = 4.00 +2.00i printf("z1 * z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(product), cimag(product)); // 输出：z1 * z2 = 11.00 -2.00i return 0; }	* 需包含 <complex.h> 头文件，并使用标准宏 I 表示虚数单位。 复数类型为 double complex、float complex 等。 运算符号（+, *, -）与普通算术一致。 使用 creal() 和 cimag() 函数提取复数的实部与虚部。 编译时需支持C99标准（如使用 gcc -std=c99）。

参见

• 代數基本定理
• 虚数
• 复平面
• 单位根
• i

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

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外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作為-1的平方根（英文視頻）
• $i^{7321}$的計算方法舉例（英文視頻）