乘积法则

关于組合數學的計數原理，请见「乘法原理」。

乘积法则（英語：Product rule），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。

若已知两个可導函数$f,g$及其导数$f',g'$，则它们的积$fg$的导数为：

$(fg)'=f'g+fg'\,$

這個法則可衍生出积分的分部積分法。

莱布尼兹的发现

人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设$u(x)$和$v(x)$为$x$的两个可导函数。那么，$uv$的微分是：

${\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}$

由于$du\cdot dv$的可忽略性，因此有：

$d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,$

两边除以$dx$，便得：

${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

$(u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,$

例子

• 假设我们要求出$f(x)=x^{2}\sin(x)$的导数。利用乘积法则，可得$f'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)$（这是因为$x^{2}$的导数是$2x$，$\sin(x)$的导数是$\cos(x)$）。
• 乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果$c$是实数，$f(x)$是可微函数，那么$cf(x)$也是可微的，其导数为$(c\times f)'(x)=c\times f'(x)$。
• 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

证明一：利用面积

假设

$h(x)=f(x)g(x),\,$

且$f$和$x$在x点可导。那么：

$h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)$

现在，以下的差

$f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)$

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

$f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)$

因此，(1)的表达式等于：

$\lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)$

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

$\left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)$

现在：

$\lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,$

因为当$w\rightarrow x$时，$f(x)$不变；

$\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)$

因为$g$在x点可导；

$\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)$

因为$f$在x点可导；以及

$\lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,$

因为$g$在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

$f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,$

证明二：使用对数

设$f=uv$，并假设$u$和$v$是正数。那么：

$\ln f=\ln u+\ln v.\,$

两边求导，得：

${1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v$

把等式的左边乘以$f$，右边乘以$uv$，即得：

${d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.$

证明三：使用导数的定义

设 $h(x)=f(x)g(x),\,$

且$f$和$g$在x点可导。那么：

$h'(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}$

$=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}$

$=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}$

$=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

推廣

• 若有$n$个函数$f_{1},f_{2},...,f_{n}$，则：

$\left({\prod _{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime }=\sum _{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot \prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f_{j}}}\right)}$

• （萊布尼茲法則）若$f,g$均為可導$n$次的函數，則$fg$的$n$次導數為：

$(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$

其中${n \choose k}$是二項式係數。

应用

乘积法则的一个应用是证明以下公式：

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$

其中$n$是一个正整数（该公式即使当$n$不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果$n=1$，${\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}$

假设公式对于某个特定的$k$成立，那么对于$k+1$，我们有：

${\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}$

因此公式对于$k+1$也成立。

参见

• 除法定则
• 倒数定则
• 鏈式法則
• 分部积分法