通量

通量（英語：Flux），或稱流束，是通過一個表面或一個物質的量，是一个物理学和应用数学的概念。在热学和流体力学领域中，研究输运现象时，是指在单位时间内通过单位面积的具有方向的流量，它是一个向量；在电磁学领域中，是指在单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度，它是一个标量。

给定一个三维空间中的向量场 $\mathbf {A}$ 以及一个简单有向曲面 $\Sigma$ ，则向量场 $\mathbf {A}$ 通过曲面 $\Sigma$ 的通量就是曲面每一点 $x$ 上的场向量 $\mathbf {A} (x)$ 在曲面法向方向上的分量的积分:

\Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S

其中 $\mathrm {d} S$ 是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从裡朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

術語

通量這個詞源於拉丁語：fluxus 意為“流”，fluere 是“流動”的意思。而 fluxion 一詞是由牛頓引入微積分。

熱通量的概念是約瑟夫·傅立葉對熱傳遞現象分析的重要貢獻之一。他的重要著作《熱的分析理論》（英語：The Analytical Theory of Heat）中，將 fluxion 定義為一個核心量，並推導出了現在的通量表達式。這些表達式與平板的溫度差異有關，且更廣義地在其他幾何形狀的溫度梯度或溫度差異有關。根據詹姆斯·克拉克·馬克士威的研究，可以顯示其傳輸的定義早於磁通量定義。馬克士威的具體引言是：

In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.
（就通量而言，我們必須以通過表面的每個通量對其表面取積分。這個操作的結果即通量的曲面積分。它呈現的是通過該表面的量。）
—— 詹姆斯·克拉克·馬克士威

根據傳輸的定義，通量可為單一向量，也可以是位置的向量場／函數。後者的通量可以很容易地在一個表面上積分。相比之下，根據電磁學定義，通量是對表面的積分；對於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的，因為這樣會對表面進行兩次積分。因此，馬克士威的引言只有在“通量”按照傳輸定義使用時才有意義（進一步來說，是向量場而不是單一向量）。這很諷刺，因為馬克士威是我們現在所稱的“電通量”和“磁通量”的主要發展者之一，而這些名稱是根據電磁學定義來的。根據該引言（和傳輸定義），它們應該被稱為“電通量的曲面積分”和“磁通量的曲面積分”。在這種情況下，“電通量”應定義為“電場”，“磁通量”應定義為“磁場”。這意味著馬克士威將這些場視為某種形式的流動／通量。

根據電磁學定義的通量，其相應的通量密度（假設使用這個術語）指的是沿積分表面的導數。根據微積分基本定理，相應的通量密度是根據傳輸定義的通量。給定一個流，例如電流——每單位時間的通電量，電流密度根據傳輸定義也是一個通量——每單位時間每單位面積的通電量。由於通量的定義衝突，以及在非技術性英語中通量、流動和電流的互換性，本文中的所有術語有時會被互相使用且可能含義模糊。本文其餘部分中具體的通量將根據其在文獻中的廣泛接受度來使用，無論該術語對應哪種通量的定義。

以單位面積流量表示的通量

在輸送現象（熱傳、質傳和流體動力學），通量被定義為「每單位面積的流量的流動率」，其因次組成為量 (物理)·[時間]⁻¹·[面積]⁻¹^[1]。這個面積是流“通過”或“穿過”的表面。例如，每秒鐘流經河流橫截面的水量除以橫截面的面積，或是每秒鐘落在地面一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積，都是通量的例子。

一般數學定義（傳輸）

以下是按複雜度遞增的三個定義。每個定義都是下面這個的一個特例。在所有情況下，常用符號 ${\textstyle j}$ （或 ${\textstyle J}$ ）表示通量， ${\textstyle q}$ 表示流動的物理量， ${\textstyle t}$ 表示時間， ${\textstyle A}$ 表示面積。當且唯當這些標識符是向量時，它們將以粗體顯示。

首先，通量作為一個（單一的）純量時：

$j={\frac {I}{A}}$

其中

$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$

在這種情況下，測量固定的通量的表面，且具有面積 $A$ 。假設該表面是平坦的，而流量在各處相對於位置是恆定的，並且垂直於表面。

其次，通量作為沿著表面定義的純量場，即作為表面上各點的函數：

$j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),$ $I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).$

如上所述，假設表面是平坦的，且流量在各處都垂直於表面。然而，流不需要是恆定的。此時， $q$ 是 p（表面上的一個點）的函數，面積 $A$ 亦是。與其測量通過整個表面的總流量，不如 $q$ 測量的是以 p 為中心、沿表面上面積 A 的圓盤通過的流量。

最後，通量作為一個向量場時： $\mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),$ $\mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).$

在這種情況下，我們沒有固定的表面來測量。 $q$ 是一個點、面積和方向（由單位向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 給定）的函數，並測量與該單位向量垂直的面積 A 的圓盤中的流量。 $I$ 的定義是選擇使該點周圍流量最大的單位向量，因為真正的流量在垂直於該單位向量的圓盤上達到最大值。因此，當單位向量指向流動的“真正方向”時，它唯一地最大化該函數。（嚴格來說，這是一種濫用符號，因為“arg max”無法直接比較向量；我們改為選擇具有最大範數的向量。）

性質

這些直接的定義，尤其是最後一個，顯得相對不完善。例如，從經驗測度（英语：Empirical measure）來看，arg max 的構造是人工的，而使用風向標或類似工具可以簡單推斷出某一點的通量方向。與其直接定義向量通量，通常更直觀的是陳述一些關於它的性質。此外，通量可以根據這些性質唯一確定。

若通量 j 以角度 $\theta$ 通過（ $\theta$ 為該通量與該面積法向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 形成之夾角），則其點積為：

$\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta$

也就是說，通過表面的通量分量（即垂直於表面的分量）是 $j\cos {\theta }$ ，而沿切向通過表面的通量分量是 $j\sin {\theta }$ ，但實際上沒有通量沿切向通過表面。唯一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。

對於向量通量，通量 j在表面 $S$ 上的曲面積分給出了每單位時間通過該表面的適當流量：

${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A}$

其中 A（及其無窮小量）是向量面積（英语：vector area）—— $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$ 的組合，結合了面積 A 的大小和垂直於該面的單位向量 $\mathbf {\hat {n}}$ 。與第二組方程式不同的是，這裡不需要平坦的表面。

最後，以時間區間 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 做積分，計算在該時間段 $(t_{2}-t_{1})$ 內流過表面的總量：

$q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \operatorname {d} \mathbf {A} \operatorname {d} \!t$

傳輸通量

八種在輸送現象文獻中最常見的通量定義如下：

動量通量（英语：Transport phenomena#Momentum transfer）（英語：momentum flux）：單位面積上動量的傳輸速率 (N·s·m⁻²·s⁻¹)。（牛頓黏度定律）^[2]
熱通量（英語：heat flux）：單位面積上熱流動的速率 (J·m⁻²·s⁻¹)。（傅立葉熱傳導定律）（也符合馬克士威對熱通量的原始定義。）^[3]
擴散通量（英語：diffusion flux）：單位面積上分子運動的速率 (mol·m⁻²·s⁻¹)。（菲克定律）
體積通量（英语：Volumetric flux）（英語：volumetric flux）：單位面積上體積流動的速率 (m³·m⁻²·s⁻¹)。（達西定律）
質量通量（英語：mass flux）：單位面積上質量流動的速率 (kg·m⁻²·s⁻¹)。（質量通量可以是費克定律的另一種形式，其中包含分子質量；或者達西定律的另一種形式，其中包含密度。）
輻射通量（英語：radiative flux）：單位面積、每秒從光源在特定距離處以光子形式傳輸的能量量 (J·m⁻²·s⁻¹)。這在天文學中用於確定恆星的星等和光譜類型。它也是熱通量的一種推廣，當限制在電磁頻譜範圍內時，輻射通量就等於熱通量。
能量通量（英語：energy flux）：單位面積上能量傳輸的速率 (J·m⁻²·s⁻¹)。輻射通量和熱通量是能量通量的特例。
粒子通量（英語：particle flux）：單位面積上粒子傳輸的速率 ([粒子數量] m⁻²·s⁻¹)。

這些通量在空間中的每一個點都是向量，具有明確的大小和方向。此外，可對任何這些通量取散度，以確定在空間中給定點周圍的控制體積內該量的累積速率。對於不可壓縮流，體積通量的散度為零。

化學擴散

如上所述，化學的莫耳通量在等溫、等壓系統中，成分 A 在菲克擴散定律中定義為：

$\mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}$

其中 nabla 符號 $\nabla$ 表示梯度算子， $D_{AB}$ 是成分 A 透過成分 B 擴散時的擴散係數 (m²·s⁻¹)， $c_{A}$ 是成分 A 的濃度 (mol/m³)。^[4]

這個通量的單位是 mol·m⁻²·s⁻¹，符合馬克士威對通量的原始定義。^[3]

對於稀薄氣體，分子動力學理論將擴散係數 D 與粒子密度 n=N/V、分子質量 m、碰撞截面 σ 以及絕對溫度 T 聯繫起來，關係式如下：

$D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}$

其中，第二個因子是平均自由徑，而平方根（包含波茲曼常數 k）項則是粒子的平均速率。

在紊流中，渦旋運動所造成的傳輸可以表示為一個大幅增加的擴散係數。

量子力學

在量子力學中，質量為 m 的粒子在量子態 ψ(r, t) 下，其機率幅定義為：

$\rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}$

因此，在微分體積元素 d³r 中找到粒子的機率是：

$dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r}$

那麼，單位時間內垂直穿過截面單位面積的粒子數就是機率通量（英語：probability flux）。

$\mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right)$

有時也被稱為機率流、機率流密度^[5]，或者機率通量密度^[6]。

参见

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^ Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. Transport Phenomena. Wiley. 1960. ISBN 0-471-07392-X.
^ Whelan, P. M.; Hodgson, M. J. Essential principles of physics. London: Murray. 1978. ISBN 978-0-7195-3382-2.
^ ^3.0 ^3.1 Maxwell, James Clerk. A treatise on electricity & [and] magnetism 3rd ed. New York: Dover. 1954. ISBN 978-0-486-60636-1.
^ Welty, James R. (编). Fundamentals of momentum, heat, and mass transfer 4th ed. New York: Wiley. 2001. ISBN 978-0-471-38149-5.
^ McMahon, David. Quantum mechanics demystified. Demystified series. New York: McGraw-Hill. 2006. ISBN 978-0-07-145546-6.
^ Sakurai, Jun John. Advanced quantum mechanics. Redwood-City (Calif.) [etc.]: Addison-Wesley. 1987. ISBN 978-0-201-06710-1.

[1] Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. Transport Phenomena. Wiley. 1960. ISBN 0-471-07392-X.

[2] Whelan, P. M.; Hodgson, M. J. Essential principles of physics. London: Murray. 1978. ISBN 978-0-7195-3382-2.

[:0-3] 3.0 ^3.1 Maxwell, James Clerk. A treatise on electricity & [and] magnetism 3rd ed. New York: Dover. 1954. ISBN 978-0-486-60636-1.

[4] Welty, James R. (编). Fundamentals of momentum, heat, and mass transfer 4th ed. New York: Wiley. 2001. ISBN 978-0-471-38149-5.

[5] McMahon, David. Quantum mechanics demystified. Demystified series. New York: McGraw-Hill. 2006. ISBN 978-0-07-145546-6.

[6] Sakurai, Jun John. Advanced quantum mechanics. Redwood-City (Calif.) [etc.]: Addison-Wesley. 1987. ISBN 978-0-201-06710-1.

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