克特-可倒擺

克特最初設計的「克特-可倒擺」，出自於克特1818年的論文

克特-可倒擺（英語：Kater's pendulum) 是由英國物理學家亨利·克特於1817年所發明（於1818年1月29日發表）的可翻轉自由旋轉擺，屬於複擺的一種。 其主要功能是作為測重儀器以測量某地點的重力加速度，在重力測量領域相當重要。和一般的擺不同，克特-可倒擺的優勢在於：使用克特-可倒擺測量重力加速度時，不需要知道擺的轉動慣量和振盪中心，即可進行測量，進而提供更高的精確度。在1930年代以前，克特-可倒擺及其衍生的多種改良形式，始終是大地測量學領域測定重力加速度的標準方法。如今，它主要用於展現擺的性質及原理。

使用方法

克特-可倒擺的示意圖
(a) 支點
(b) 用來調整質量分佈的可調節金屬件（細調節）
(c) 用來調整質量分佈的可調節金屬件（粗調節）
(d) 擺錘
(e) 用來判讀擺動次數的指針

方法一：在小振幅的擺動下，單擺可以被用來測量重力加速度，因為此時小角度近似便會成立，單擺的週期 $T$ 完全由擺長 $L$ 和重力加速度 $g$ 決定，其關係式如下 ：

$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad (1)\,$

所以只要測量週期 $T$ 和擺長 $L$ ，就能推算出 $g$ 。

克特-可倒擺的主體由一堅硬的金屬棒和兩個分別靠近兩端點的支點組成，因此它可以在正掛或是倒掛的情況下擺動。克特-可倒擺上也會有可調節位置的金屬件，和位於其中一端的擺錘，用來調整複擺擺動時的質量分佈。另外，其實也有另一種克特-可倒擺，它的質量分佈不能被挑整，它是透過調整其中一端支點的位置來達到相同效果。使用時，應測量其正掛、倒掛時各自的週期。此時，移動位於擺上的的金屬件，調整其質量分佈，使得正掛週期等於倒掛週期。此時，這個週期 $T$ 便會等於一個擺長為兩支點間距離的理想單擺之擺動週期。在不用知道複擺的轉動慣量和重心的情況下，由此週期 $T$ 和兩支點之間的距離，便能用公式 (1) ，精確的算出重力加速度 $g$。

方法二：要找到正確的配重使正掛、倒掛週期一樣，是一項十分費時且繁瑣的操作，所以我們可以透過以下方法進行測量。首先，使用方法二時，需要先知道克特-可倒擺重心位置，這個步驟可藉由平衡支架完成。令 $T_{1}$ 為正掛時的週期，$l_{1}$ 則是正掛時支點與質心的距離；反之， $T_{2}$ 為倒掛時的週期，$l_{2}$ 則是倒掛時支點與質心的距離。則我們有以下關係式 ：

$g={\frac {8\pi ^{2}}{{\dfrac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{l_{1}+l_{2}}}+{\dfrac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{l_{1}-l_{2}}}}}\qquad (2)\,$

這個式子對於任意週期皆成立，因此不需要花時間調整配重。但其劣勢在於，由於多了質心位置與 $l_{1}$、 $l_{2}$ 的測量，不確定度來源也會隨之增加。

原理

一個物理擺在做小角度的振盪時，其振盪週期可以用以下公式表示：

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{M\cdot g\cdot l}}}$

其中，$I$ 指的是複擺的轉動慣量，$M$ 是複擺質量，而 $l$ 則是支點以及重心的距離。 因此，對於克特-可倒擺，其正掛、到掛的週期分別可表示成：

${\begin{cases}T_{1}=2\pi {\sqrt {\frac {I_{1}}{M\cdot g\cdot l_{1}}}}\\T_{2}=2\pi {\sqrt {\frac {I_{2}}{M\cdot g\cdot l_{2}}}}\end{cases}}$

根據平行軸定理，可將式子改寫為：

${\begin{cases}T_{1}=2\pi {\sqrt {\frac {I_{COM}+M\cdot l_{1}^{2}}{M\cdot g\cdot l_{1}}}}\\T_{2}=2\pi {\sqrt {\frac {I_{COM}+M\cdot l_{2}^{2}}{M\cdot g\cdot l_{2}}}}\end{cases}}$

將兩式平方並移項整理得：

${\begin{cases}M\cdot g\cdot l_{1}\cdot T_{1}^{2}=4\pi ^{2}(I_{COM}+M\cdot l_{1}^{2})\\M\cdot g\cdot l_{2}\cdot T_{2}^{2}=4\pi ^{2}(I_{COM}+M\cdot l_{2}^{2})\end{cases}}$

將兩式相減，消去$I_{COM}$及$M$:

$g(l_{1}\cdot T_{1}^{2}-l_{2}\cdot T_{2}^{2})=4\pi ^{2}(l_{1}^{2}-l_{2}^{2})$

在經過適當化簡後即可得方法二的公式：

$g={\frac {8\pi ^{2}}{{\dfrac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{l_{1}+l_{2}}}+{\dfrac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{l_{1}-l_{2}}}}}\qquad (2)\,$

注意到，當$T_{1}$等於$T_{2}$等於$T$時：

$g={\frac {4\pi ^{2}(l_{1}+l_{2})}{T^{2}}}$

此即方法一中，計算$g$的公式。這就是為何方法一能讓我們在不知道重心位置的情況下計算出$g$。

歷史

克特-可倒擺

早期方法

早期科學家主要是透過秒擺來測量重力加速度。秒擺指的是擺動一次所花時間為1秒的單擺，也相當於週期為2秒。根據公式：

$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad (1)\,$

我們可以得到以下關係式：

$g=L\cdot \pi ^{2}$

科學家只要調整擺長，使單擺週期等於2秒，再測量該擺長，便能算出重力加速度$g$。

用單擺測量重力加速度的問題

不論是用秒擺或是一般的單擺測量重力加速度，其結果的精確度都不高。在克特所生活的17至18世紀，人們已經能準確測量週期，所以單擺的限制主要來自於對於擺長 $L$ 的測量。在理想的單擺中，細繩是沒有質量且不會變形的，然而在現實中，細繩也會有轉動慣量，且在擺動時受張力的影響，繩子也會被拉伸，這些因素限制了重力加速度的精確度。

解決方法-複擺

1673年，荷蘭科學家惠更斯曾指出，一個複擺的週期可以用特定擺長的理想單擺的週期來表示，其中這個擺長會等於支點到振盪中心的距離，稱為「等效擺長」。振盪中心是位於複擺重心下的一個點，其位置與複擺的質量分佈相關。因此，若能找出複擺的振盪中心便能求出重力加速度。然而，要找到複擺的振盪中心是非常困難的一件事。理論上，我們能透過複擺的形狀與密度來計算出振盪中心的位置。但是這仍然是一大挑戰，因為複擺不一定是完全均質的，而且此計算過程將會十分複雜，對於當時的計算工具而言仍難以解決，所以現在的問題變成是「如何找到複擺的振盪中心」。

克特的解決方案

其實，早在惠更斯提出振盪中心的概念時，他同時也證明了複擺具有以下性質：複擺的支點與振盪中心是可以互相交換位置的。也就是說，如果一個複擺被上下顛倒懸掛於其振盪中心，其擺動週期會等於正掛時的週期，且舊的支點會變成新的振盪中心。

1816年，身為英國皇家學會成員的克特，被指派要精準測量倫敦當地秒擺的擺長，以測量當地的重力加速度。他發現，惠更斯所發現的這項性質能被用來找到複擺的振盪中心和等效擺長。如果一個複擺可以被倒掛在另一個可調節位置的支點，當正掛與到掛週期一致時，則兩個支點互為彼此的振盪中心，而等效擺長自然就是兩支點間的距離，重力加速度因此就能被準確測量。

其實，可調節支點位置的克特擺才是最原始的設計。透過金屬件與擺錘來調整質量分佈的克特擺，則是為使操作更方便而出現的改良版本。

軼聞

克特其實不是最早想到此解決方法的人。早在1800年，法國數學家德普羅尼便已提出「可倒擺」的想法，只是他的成果直到1889年才被出版。而克特在1817年獨立發明了自己的可倒擺，並首先將它付諸於實際應用。