半拉格朗日方法

半拉格朗日方法（英語：Semi-Lagrangian scheme，縮寫：SLS）是一種廣泛應用於數值天氣預報模型中的數值方法，用於整合描述大氣運動的方程式。拉格朗日描述法（如應用於大氣系統）著重追蹤單個氣團的運動軌跡，有別於歐拉描述法——後者關注特定空間點上系統變量的變化速率。半拉格朗日方法採用歐拉框架，但離散方程的推導源自拉格朗日視角。

背景

拉格朗日量 $F$ 的變化率由

${\frac {DF}{Dt}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot {\vec {\nabla }})F$

給出，其中 $F$ 可為標量場或向量場， $\mathbf {v}$ 為速度場。上述方程式右側的第一項是 $F$ 的局部變化率（或稱歐拉變化率），第二項通常稱為移項。需注意拉格朗日變化率亦稱為物質導數。

可以證明，描述大氣運動的方程式可寫成拉格朗日形式

${\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=\mathbf {S} (\mathbf {V} )$

其中向量 $\mathbf {V}$ 的分量是描述空氣微粒的（依變數），例如速度、壓力、溫度等；而函數 $\mathbf {S} (\mathbf {V} )$ 則代表源項與/或匯項。

在拉格朗日方法中，雖可追蹤個別氣團，但存在明顯缺陷：氣團數量可能極為龐大，且常出現大量氣團聚集成團的狀況，導致相對廣闊的空間區域完全空缺。此類空洞會引發計算問題，例如在計算各類量值的空間導數時。對此存在解決之道，例如光滑粒子流體動力學技術，該技術將依變數以非局部形式表達，即作為其自身與核函數乘積的積分。

半拉格朗日方法則能避免空間區域基本不存在微粒的問題。

半拉格朗日方法

半拉格朗日方法採用規則（歐拉）網格，與有限差分法相同。其核心思想如下：在每個時間步長中，計算粒子包的起始點位置。隨後運用插值方案，估算粒子起始點周邊網格點上依變數的數值。所列參考文獻中包含半拉格朗日方法應用方式的更詳細說明。

外部連結

• ctraj: C++ trajectory library, including semi-Lagrangian tracer codes.

參考資料

• E. Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability (Chapter 3, Section 3.3.3), Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• A. Persson, User Guide to ECMWF forecast products (Section 2.1.3), http://www.ecmwf.int/sites/default/files/User_Guide_V1.2_20151123.pdf
• D.A. Randall, Atmospheric Modeling (AT604, Chapter 5, Section 5.11), http://kiwi.atmos.colostate.edu/group/dave/at604.html