弗雷德霍姆定理

弗雷德霍姆定理是數學家埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆在探討积分方程的弗雷德霍姆理論裡的一些定理。這些定理彼此相關，會用積分方程、线性代数、巴拿赫空间上的弗雷德霍姆算子表示。

弗雷德霍姆擇一定理也和弗雷德霍姆定理有關。

線性代數下

線性代數的弗雷德霍姆定理如下：若M是矩阵，則M之行空间的正交补即為M的核：

$(\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M.$

而M之列空间的正交补即為M伴隨矩陣的核：

$(\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}.$

積分方程

積分方程的弗雷德霍姆定理如下：令$K(x,y)$是积分变换，考慮以下齊次多項式

$\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)$

以及其複數伴隨（complex adjoint）

$\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y).$

其中${\overline {\lambda }}$是复数 $\lambda$的共轭复数，${\overline {K(x,y)}}$也是類似概念。則，弗雷德霍姆定理是指，針對任何固定值的$\lambda$，這些方程可能有平凡解$\psi (x)=\phi (x)=0$，不然就會有個數相同的線性無關解$\phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)$, $\psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)$.

此定理的充份條件是$K(x,y)$要在矩形區間$[a,b]\times [a,b]$（其中a和/或b可以是正負無限大）內是平方可積函數。

此處，積分表示為在實數線上的一維積分。在弗雷德霍姆理論中會將此結果擴展到多維空間（例如黎曼流形）中的積分算子。

解的存在性

有一個弗雷德霍姆定理和弗雷德霍姆擇一定理緊密相關，是有關以下非齊次弗雷德霍姆方程的解是否存在

$\lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x).$

此方程的解存在，若且唯若函數$f(x)$和以下對應齊次伴隨方程的完整解集$\{\psi _{n}(x)\}$正交：

$\int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0$

其中${\overline {\psi _{n}(x)}}$是$\psi _{n}(x)$的共軛複數，前者屬於以下方程的完整解集

$\lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0.$

此定理的充份條件是：$K(x,y)$在矩形區域$[a,b]\times [a,b]$內是平方可積函數

參考資料

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) pp. 365–390.
• 埃里克·韦斯坦因. Fredholm's Theorem. MathWorld. 
• B.V. Khvedelidze, Fredholm theorems, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）