整数矩阵

数学裡的整數矩陣是指元素都是整數的矩阵。整數矩陣的例子包括邏輯矩陣（元素由0或1組成）、零矩陣、一矩陣、單位矩陣，以及图论中使用的邻接矩阵等。整數矩陣常用在组合数学裡。

範例

$\left({\begin{array}{cccr}5&2&6&0\\4&7&3&8\\5&9&0&4\\3&1&0&\!\!\!-3\\9&0&2&1\end{array}}\right)$    and     $\left({\begin{array}{ccc}1&5&0\\0&9&2\\1&7&3\end{array}}\right)$

都是整數矩陣。

性質

整數矩陣的可逆性比其他非整數矩陣更具數值穩定性。整數矩陣$M$的行列式也是整數，其伴随矩阵也是整數矩陣。若一個整數矩陣可逆，且反矩陣也是整數矩陣，其行列式只能是$1$或$-1$，而其反矩陣也不會過大（參見條件數）。矩陣理論中的定理可以從行列式推斷性質，從而避免病態（行列式接近零）實數或浮點值矩陣所造成的陷阱。

整數矩陣$M$的逆矩陣也是整數矩陣，若且唯若其行列式等於$1$或是$-1$。行列式為$1$的整數矩陣形成群 $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {Z} )$，在算術和几何学上有許多的應用。若$n=2$，此群和模群有密切關係。

整數矩陣和正交群的交集，是有號置換矩陣的群。

整數矩陣的特徵多項式係數是整數。整數矩陣的特征值是其特徵多項式的根，會是代數整數。在五階以下的矩陣，其特征值可以用方根表示。

相關條目

• GCD矩陣
• 單模矩陣
• Wilson矩陣

外部連結

• Integer Matrix at MathWorld