无穷逻辑

无穷逻辑是一类允许使用无限长语句和/或无限长证明的逻辑体系^[1]。这一概念最早由恩斯特·策梅洛于1930年代提出^[2]。

某些无穷逻辑与标准的一阶逻辑相比，可能具有不同的性质。特别是，无穷逻辑可能不具备紧致性或完备性。在有限逻辑中等价的“紧致性”和“完备性”概念，在无穷逻辑中往往不再等价。因此，在研究无穷逻辑时，人们引入了“强紧致性”（strong compactness）与“强完备性”（strong completeness）的概念。

希尔伯特型无穷逻辑已被广泛研究，并且是从有限逻辑延伸而来的最直接形式。除希尔伯特型之外，还有其他类型的无穷逻辑被提出和研究。

对于一种称为Ω逻辑（Ω-logic）的特定无穷逻辑，其是否具有完备性的问题，被认为有助于阐明连续统假设这一重要数学问题^[3]。

参考文献

^ Moore, Gregory H. The prehistory of infinitary logic: 1885–1955. Dalla Chiara, Maria Luisa; Doets, Kees; Mundici, Daniele; van Benthem, Johan (编). Structures and Norms in Science. Springer-Science+Business Media. 1997: 105–123. ISBN 978-94-017-0538-7. doi:10.1007/978-94-017-0538-7_7.
^ Kanamori, Akihiro. Zermelo and set theory (PDF). The Bulletin of Symbolic Logic. 2004, 10 (4): 487–553 [22 August 2023]. doi:10.2178/bsl/1102083759.
^ Woodin, W. Hugh. The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture. Kennedy, Juliette; Kossak, Roman (编). Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies. Cambridge University Press. 2011: 13–42 [1 March 2024]. ISBN 978-0-511-91061-6. doi:10.1017/CBO9780511910616.003. （原始内容存档于1 March 2024）.

[1] Moore, Gregory H. The prehistory of infinitary logic: 1885–1955. Dalla Chiara, Maria Luisa; Doets, Kees; Mundici, Daniele; van Benthem, Johan (编). Structures and Norms in Science. Springer-Science+Business Media. 1997: 105–123. ISBN 978-94-017-0538-7. doi:10.1007/978-94-017-0538-7_7.

[2] Kanamori, Akihiro. Zermelo and set theory (PDF). The Bulletin of Symbolic Logic. 2004, 10 (4): 487–553 [22 August 2023]. doi:10.2178/bsl/1102083759.

[3] Woodin, W. Hugh. The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture. Kennedy, Juliette; Kossak, Roman (编). Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies. Cambridge University Press. 2011: 13–42 [1 March 2024]. ISBN 978-0-511-91061-6. doi:10.1017/CBO9780511910616.003. （原始内容存档于1 March 2024）.

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