正五边形

正五邊形
一個正五邊形
類型	正多邊形
對偶	正五邊形（本身）
邊	5
頂點	5
對角線	5
施萊夫利符號	{5}
考克斯特符號
鮑爾斯縮寫	peg
對稱群	二面體群 (D5), order 2×5
面積	${\frac {5}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{5}}$ $\approx 1.720477400589a^{2}$
內角（度）	108°
內角和	540°
特性	凸、圓內接多邊形、等邊多邊形、等角多邊形、等邊圖形

正五邊形是指五個邊等長且五個角等角的五边形，其內角為108度，是一種正多邊形，在施萊夫利符號中可以用$\left\{5\right\}$來表示。

边与角

正五邊形的中心角為72度，其具有五個對稱軸，其旋轉對稱性有5個階（72°、144°、216° 和 288°）。

高$={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot$邊長$\approx 1.539\cdot$邊長

寬$={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot$邊長$\approx 1.618\cdot$邊長

對角線長$=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,$

其中$R$為外接圓半徑。

邊長為$t$的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算：

$A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.$

正五邊形不能鑲嵌平面，因為其內角是108°，不能整除360°。2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形鑲嵌平面情况，其中不包括正五边形。。

面積公式推導

正多邊形的面積公式為：

$A={\frac {1}{2}}Pr$

其中，$P$是周長、$r$是邊心距。正五邊形的$P$和$r$可由三角函數計算：

$A={\frac {1}{2}}\times 5t\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}$

其中，$t$是正五邊形的邊長。

內切圓半徑

正五邊形是一個圓外切多邊形，因此有內切圓。其內切圓半徑與邊心距相同，並且可以尤其邊長來決定。

$r={\frac {t}{2\tan({\frac {\pi }{5}})}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t$

其中，$r$為內切圓半徑與邊心距相同、t為正五邊形邊長。

構造

里士滿提出了一個構造正五邊形的方法，並且在克倫威爾的《多面體》中被進一步討論。。

右上的圖顯示了里士滿繪製正五邊形的方法。先利用單位圓決定五邊形的半徑。$C$為單位圓圓心，$M$是圓$C$半徑的中點。$D$是位於垂直於$MC$的另外一條半徑的圓周上。作$\angle CMD$的角平分線，令$Q$為$\angle CMD$的角平分線與$CD$的交點。作過$Q$平行於$MC$的直線，令之與圓$C$相交的交點為$P$，則$DP$為正五邊形的邊長。

這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形$DCM$和$QCM$。利用勾股定理，較大的三角形斜邊為${\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle$。小三角形其中一股h可由半角公式求得：

$\tan({\frac {\phi }{2}})={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,$

其中，角$\phi$可由大三角形求得，其值為：

$h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .$

由此可得到在下圖正五邊形的邊長的一些相關值。右側三角形的邊長$a$可藉由再帶一次勾股定理得：

$a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .$

欲求出五邊形邊長$s$可透過左側的三角形，由勾股定理得：

$s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\$

$={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .$

使用圓規與直尺建構出正五邊形。

五邊形邊長$s$為：

$s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,$

得到了正確的結果因此此種構造正五邊形的方法是有效的。

約西元前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

物理方法

打一個反手結的長條紙張

正五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反手結，並將多出來的部分向後折來構造。這種折法被用在摺紙星星上。