英國國旗定理

歐幾里得幾何的英國國旗定理（英語：British flag theorem）的大意是：若在一 $ABCD$ 的矩形內選擇任意一點 $P$ ，那麼從 $P$ 到任意兩對角的歐幾里得距離，其平方和等於另外兩對角的歐幾里得距離平方和。^[1]^[2]^[3]若化為等式則寫作：

${\overline {AP}}^{2}+{\overline {CP}}^{2}={\overline {BP}}^{2}+{\overline {DP}}^{2}$

英國國旗定理不僅適用於矩形內的點：其範圍還擴及矩形以外、以致歐幾里得空間中一矩形嵌入該空間的四點，到任意一點的距離。^[4]進一步言，若比較從 $P$ 點到平行四邊形兩組對角的距離平方和，兩者通常不會相等；但其差異值只取決於平行四邊形的形狀，而非 $P$ 的位置。^[5]

英國國旗定理常被視為畢氏定理的延伸：這是因為前者將 $P$ 點放在矩形四點中的任意一處後，會發現矩形對角線的平方，等於矩形長寬的平方；而後者的大意，則是直角三角形中兩邊直角長的平方和，等于斜邊長的平方。

證明

如圖所示，在長方形 $\Box {ABCD}$ 中，給 $P$ 點作垂線後，垂線對應的四個點 $WXYZ$ 就會構成一正交四邊形的頂點。此時已知 $\triangle AWP$ 為直角三角形、且 $WP=AZ$ 後，可透過畢氏定理得知：

$AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}$

$P$ 點到其他三個角（ $B$ 、 $C$ 、 $D$ ）的平方也可同理得知：

$PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},$ $BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},$ $PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.$

因此可得證：

${\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}$

等腰梯形

英國國旗定理可以推到關於（凸）等腰梯形的斷言。更精確地說，針對 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {CD}}$ 平行且內 $P$ 點的梯形 $ABCD$ 而言，以下等式成立： $|AP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PC|^{2}=|BP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PD|^{2}$ 對矩形而言， ${\tfrac {|AB|}{|CD|}}$ 的分數計算結果為1，因而得證。^[6]