群论 中，逆半群
S
{\displaystyle S}
半群 ，其任意元
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
逆
y
∈
S
{\displaystyle y\in S}
x
=
x
y
x
{\displaystyle x=xyx}
y
=
y
x
y
{\displaystyle y=yxy}
正规半群 。逆半群出现在不少领域，如用于研究部分对称群 。[ 1]
（本文遵循半群理论研究中的惯例，书函数名于参数右侧，函数复合亦从左至右，如
x
f
{\displaystyle x\ f}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
逆半群分别由 Виктор Владимирович Вагнер （英语 ） 在苏联 于 1952 年[ 2] Gordon Preston （英语 ） 在英国 于 1954 年独立引入。[ 3] 集合 上的偏双射 [ 注 1]
X
{\displaystyle X}
偏变换
α
{\displaystyle \alpha }
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
函数 ，其中
A
,
B
⊆
X
{\displaystyle A,\,B\subseteq X}
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
X
{\displaystyle X}
定义域 上组成：
dom
α
β
=
[
im
α
∩
dom
β
]
α
−
1
{\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =\left[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta \right]\alpha ^{-1}}
其中
α
−
1
{\displaystyle \alpha ^{-1}}
α
{\displaystyle \alpha }
原像 。偏变换在伪群 （英语 ） 的背景下已有研究。首先是 Вагнер 注意到偏变换的复合是二元关系复合的特例，还认识到两个偏变换的复合，其定义域可能为空 ，因而引入空变换 以考虑之。伴随空变换引入，集合偏变换的复合是处处定义的二元 结合关系 。[ 4]
X
{\displaystyle X}
I
X
{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}
X
{\displaystyle X}
对称逆半群 幺半群 ，其中逆定义作从像到定义域的函数逆。这就是“原型”逆半群了，同样地可以说对称群 是“原型”群 。举例，所有群均可嵌入 对称群，所有逆半群均可嵌入对称逆半群（见下文的逆半群的同态与表示 章节）。
逆半群
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
x
−
1
{\displaystyle x^{-1}}
群 中的逆，例如
(
a
b
)
−
1
=
b
−
1
a
−
1
{\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}
幺半群 [ 注 2]
x
x
−
1
{\displaystyle xx^{-1}}
x
−
1
x
{\displaystyle x^{-1}x}
幂等 。[ 5]
∀
x
∈
S
,
x
x
−
1
=
e
=
x
−
1
x
{\displaystyle \forall x\in S,\,xx^{-1}=e=x^{-1}x}
S
{\displaystyle S}
群 。
逆半群
S
{\displaystyle S}
[ 6]
任意元均具唯一逆当
S
{\displaystyle S}
任意元均具至少一个逆（
S
{\displaystyle S}
幂等元 交换（即
S
{\displaystyle S}
半格 ）。
任意
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
Green 关系 （英语 ） 其二。
s
{\displaystyle s}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
s
−
1
s
{\displaystyle s^{-1}s}
s
{\displaystyle s}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
s
s
−
1
{\displaystyle ss^{-1}}
因而在逆半群中的 Green 关系又一个简单特征：[ 5]
a
L
b
⟺
a
−
1
a
=
b
−
1
b
,
a
R
b
⟺
a
a
−
1
=
b
b
−
1
{\displaystyle a{\mathcal {L}}b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a{\mathcal {R}}b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}
除非另行说明，将以
E
(
S
)
{\displaystyle E(S)}
S
{\displaystyle S}
以乘法表示例，逆半群可结合，且任意元均由 aba = a bab = b
逆半群
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
e
{\displaystyle e}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
e
{\displaystyle e}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
e
{\displaystyle e}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
e
{\displaystyle e}
逆半群
S
{\displaystyle S}
自然偏序
≤
{\displaystyle \leq }
ω
{\displaystyle \omega }
[ 7]
a
≤
b
⟺
a
=
e
b
,
{\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}
对
S
{\displaystyle S}
e
∈
S
{\displaystyle e\in S}
a
≤
b
⟺
a
=
b
f
,
{\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}
对一些（一般不同的）幂等元
f
∈
S
{\displaystyle f\in S}
e
{\displaystyle e}
a
a
−
1
{\displaystyle aa^{-1}}
f
{\displaystyle f}
a
−
1
a
{\displaystyle a^{-1}a}
[ 8]
自然偏序同时兼容乘法与逆运算，即：
a
≤
b
,
c
≤
d
⟹
a
c
≤
b
d
,
{\displaystyle a\leq b,\,c\leq d\implies ac\leq bd,}
且
a
≤
b
⟹
a
−
1
≤
b
−
1
.
{\displaystyle a\leq b\implies a^{-1}\leq b^{-1}.}
群中的逆序则简单地退化为等价关系，因为幺元正是其唯一幂等元。在交换逆半群中，逆序退化为限制映射，即
α
≤
β
{\displaystyle \alpha \leq \beta }
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
∀
x
∈
D
α
,
x
α
=
x
β
{\displaystyle \forall x\in D_{\alpha },\,x\alpha =x\beta }
对
E
(
S
)
{\displaystyle E(S)}
[ 注 3]
e
≤
f
⟺
e
=
e
f
,
{\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}
故而由于幂等元构成乘积运算下的半格，
E
(
S
)
{\displaystyle E(S)}
≤
{\displaystyle \leq }
若
E
(
S
)
{\displaystyle E(S)}
链 （即
E
(
S
)
{\displaystyle E(S)}
≤
{\displaystyle \leq }
S
{\displaystyle S}
并 。[ 9]
E
(
S
)
{\displaystyle E(S)}
S
{\displaystyle S}
E
(
S
)
{\displaystyle E(S)}
[ 10]
逆半群的同态 态射 ）以与对其他半群那样完全相同的方式定义：对逆半群
S
,
T
{\displaystyle S,\,T}
函数
ϑ
:
S
→
T
{\displaystyle \vartheta \colon \,S\to T}
∀
s
,
t
∈
S
,
(
s
ϑ
)
(
t
ϑ
)
=
(
s
t
)
ϑ
{\displaystyle \forall s,\,t\in S,\,(s\vartheta )(t\vartheta )=(st)\vartheta }
(
s
ϑ
)
−
1
=
s
−
1
ϑ
{\displaystyle (s\vartheta )^{-1}=s^{-1}\vartheta }
定理 — 逆半群的同态像 仍是逆半群，元的逆总通过映到其像的逆。[ 9]
关于逆半群，最早的结果之一由 Wagner-Prestion 定理证明，这是群论中 Cayley 定理 的类推：
因此，任意逆半群可嵌入交换逆半群，而偏双射的像对取逆封闭。反过来说，任意交换逆半群的子半群是逆半群，若对逆运算封闭。故而半群
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
逆半群的同余实际与其他半群的如出一辙：同余
ϱ
{\displaystyle \varrho }
等价关系 ：
a
ϱ
b
,
c
ϱ
d
⟹
a
c
ϱ
b
d
{\displaystyle a\ \varrho \ b,\,c\ \varrho \ d\implies ac\ \varrho \ bd}
[ 12] 特别值得关注的是定义在逆半群
S
{\displaystyle S}
ς
{\displaystyle \varsigma }
a
ς
b
⟹
∃
c
∈
S
,
c
≤
a
,
b
{\displaystyle a\ \varsigma \ b\implies \exists c\in S,c\leq a,\,b}
[ 13] 可以证明
ς
{\displaystyle \varsigma }
同余 ，这意味着因子半群
S
/
ς
{\displaystyle S/\varsigma }
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
ς
{\displaystyle \varsigma }
S
/
ς
{\displaystyle S/\varsigma }
S
{\displaystyle S}
τ
≠
ς
{\displaystyle \tau \neq \varsigma }
ς
{\displaystyle \varsigma }
τ
{\displaystyle \tau }
ς
{\displaystyle \varsigma }
S
{\displaystyle S}
极小群同余 。[ 14]
E
{\displaystyle E}
逆半群
S
{\displaystyle S}
ϱ
{\displaystyle \varrho }
幂等纯 若
a
∈
S
,
e
∈
E
(
S
)
,
a
ϱ
e
⟹
a
∈
E
(
S
)
.
{\displaystyle a\in S,\,e\in E(S),\,a\ \varrho \ e\implies a\in E(S).}
[ 15] 一类常年广受关注的逆半群是
E
{\displaystyle E}
S
{\displaystyle S}
幂等元 半格
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
∀
e
∈
E
,
∀
s
∈
S
,
{\displaystyle \forall e\in E,\,\forall s\in S,}
e
s
∈
E
⟹
s
∈
E
.
{\displaystyle es\in E\implies s\in E.}
条件等价于
s
e
∈
E
⟹
s
∈
E
.
{\displaystyle se\in E\implies s\in E.}
[ 6] 以下是
E
{\displaystyle E}
S
{\displaystyle S}
∀
s
∈
S
,
∀
e
∈
E
(
e
≤
s
⟹
s
∈
E
)
{\displaystyle \forall s\in S,\,\forall e\in E\left(e\leq s\implies s\in E\right)}
E
{\displaystyle E}
令
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
≤
{\displaystyle \leq }
偏序集 ，令子集
Y
⊆
X
{\displaystyle {\mathcal {Y}}\subseteq {\mathcal {X}}}
Y
{\displaystyle {\mathcal {Y}}}
下半格 ，即
∀
A
,
B
∈
Y
,
{\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {Y}},}
≤
{\displaystyle \leq }
下确界
A
∧
B
∈
Y
{\displaystyle A\land B\in {\mathcal {Y}}}
Y
{\displaystyle {\mathcal {Y}}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
序理想 ，即
∀
A
,
B
∈
X
,
(
A
∈
Y
,
B
≤
A
)
⟹
(
B
∈
Y
)
{\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {X}},(A\in {\mathcal {Y}},\,B\leq A)\implies (B\in {\mathcal {Y}})}
现令
G
{\displaystyle G}
作用 于
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
∀
g
∈
G
,
∀
A
,
B
∈
X
,
g
A
=
g
B
⟺
A
=
B
;
{\displaystyle \forall g\in G,\,\forall A,\,B\in {\mathcal {X}},\,gA=gB\iff A=B;}
∀
g
∈
G
,
∀
B
∈
X
,
∃
A
∈
X
(
g
A
=
B
)
;
{\displaystyle \forall g\in G,\,\forall B\in {\mathcal {X}},\,\exists A\in {\mathcal {X}}(gA=B);}
∀
A
,
B
∈
X
,
A
≤
B
⟺
g
A
≤
g
B
;
{\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {X}},\,A\leq B\iff gA\leq gB;}
∀
g
,
h
∈
G
,
∀
A
∈
X
,
g
(
h
A
)
=
(
g
h
)
A
.
{\displaystyle \forall g,\,h\in G,\,\forall A\in {\mathcal {X}},\,g(hA)=(gh)A.}
三元组
(
G
,
X
,
Y
)
{\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}
∀
X
∈
X
,
∃
g
∈
G
,
∃
A
∈
Y
(
g
A
=
X
)
;
{\displaystyle \forall X\in {\mathcal {X}},\,\exists g\in G,\exists A\in {\mathcal {Y}}(gA=X);}
∀
g
∈
G
,
g
Y
∩
Y
≠
∅
.
{\displaystyle \forall g\in G,\,g{\mathcal {Y}}\cap {\mathcal {Y}}\neq \varnothing .}
如此的
(
G
,
X
,
Y
)
{\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}
McAlister 三元组 。McAlister 三元组用于定义如下:
P
(
G
,
X
,
Y
)
=
{
(
A
,
g
)
∈
Y
×
G
:
g
−
1
A
∈
Y
}
{\displaystyle P(G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})=\left\{(A,\,g)\in {\mathcal {Y}}\times G\colon \,g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\right\}}
通过乘法规则
(
A
,
g
)
(
B
,
h
)
=
(
A
∧
g
B
,
g
h
)
.
{\displaystyle (A,\,g)(B,\,h)=(A\land gB,\,gh).}
此时
P
(
G
,
X
,
Y
)
{\displaystyle P(G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}
(
A
,
g
)
−
1
=
(
g
−
1
A
,
g
−
1
)
{\displaystyle (A,\,g)^{-1}=(g^{-1}A,\,g^{-1})}
E
{\displaystyle E}
P
{\displaystyle P}
F
{\displaystyle F}
[ 编辑 ] 逆半群称
F
{\displaystyle F}
ς
{\displaystyle \varsigma }
F
{\displaystyle F}
E
{\displaystyle E}
定理 — 逆半群均具
F
{\displaystyle F}
McAlister
P
{\displaystyle P}
F
{\displaystyle F}
(
G
,
X
,
Y
)
{\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}
F
{\displaystyle F}
Y
{\displaystyle {\mathcal {Y}}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
上文中集合上偏变换的复合得到了交换逆半群，下面阐述另一种复合偏变换的形式，约束力更强：两偏变换
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\,\beta }
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
α
β
{\displaystyle \alpha \beta }
采用替换后的复合定义，所有集合上的偏一一变换总体不构成逆半群，而在范畴 意义上构成诱导群胚 。
逆半群和到处群培之间的密切联系体现于 Ehresmann-Schein-Nambooripad 定理，该定理指明，导出群胚总能经由逆半群构造，反之亦然。[ 1] Alexandrov 拓扑 的 étale 群胚 ，且其对象的偏序集为交半格。
按前述记号，逆半群
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
对逆半群来说，这就引出两条不同的推广方式，即保留其中一个限制而取消另一个。
逆半群的正则推广有下例：
正则半群 半群
S
{\displaystyle S}
正则 ，当其任意元均有逆。或者符号化叙述为
∀
a
∈
S
,
∃
x
∈
S
(
a
x
a
=
a
)
{\displaystyle \forall a\in S,\,\exists x\in S(axa=a)}
局部逆半群 ：正则半群
S
{\displaystyle S}
局部逆 ，，若对某个幂等元
e
{\displaystyle e}
e
S
e
{\displaystyle eSe}
保守半群 ：正则半群
S
{\displaystyle S}
保守 ，若其幂等元子集构成子半群。广义逆半群 ：正则半群称广义逆半群 ，若其幂等元构成正规带，即对任意幂等元
x
,
y
,
z
,
{\displaystyle x,\,y,\,z,}
x
y
z
x
=
x
z
y
x
{\displaystyle xyzx=xzyx}
广义逆半群类为局部逆半群类与保守半群类的交。[ 6]
逆半群的非正则推广有：[ 16]
左/右/双边 适半群。
左/右/双边 充半群。
左/右/双边 半适半群。
弱 左/右/双边 充半群。 逆运算这一记号亦可拓展到范畴 上。逆范畴 即其任意态射
f
∈
Hom
(
X
,
Y
)
{\displaystyle f\in \operatorname {Hom} (X,\,Y)}
g
∈
Hom
(
Y
,
X
)
{\displaystyle g\in \operatorname {Hom} (Y,\,X)}
f
g
f
=
f
,
g
f
g
=
g
=
g
{\displaystyle fgf=f,\,gfg=g=g}
对偶 。典例即集合范畴及其上的偏双射。
逆范畴在理论计算机科学 里已有部分应用。
^ “partial” 一词，时而译作部分，时而译作偏，本文统一采用后者。
^ 即具幺 的逆半群，注意到逆幺半群不一定是群，因为尚未保证
a
a
−
1
=
e
{\displaystyle aa^{-1}=e}
^
E
(
S
)
{\displaystyle E(S)}
^ Unitary 早有译名酉 ，但词不达意，本文不采用。
^ 1.0 1.1 Lawson, Mark V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. Singapore New Jersey London: World Scientific. 1998. ISBN 978-981-02-3316-7 ^ Since his father was German, Wagner preferred the German transliteration of his name (with a "W", rather than a "V") from Cyrillic – see Lawson, M. V. (1998). Inverse Semigroups: The Theory of Partial Symmetries. World Scientific. ISBN 9810233167 .
^ Preston, G. B. Inverse Semi-Groups . Journal of the London Mathematical Society. 1954-10, s1–29 (4) [2025-08-27 ] . doi:10.1112/jlms/s1-29.4.396 （英语） . ^ Schein, Edgar H., Die Organisation als komplexes System , Gabler Verlag: 137–152, 1980 [2025-08-27 ] , ISBN 978-3-409-96601-6 ^ 5.0 5.1 Kergoat, Michelle. Proposition d'exercice . Géographes associés. 1995, 1 (1) [2025-08-27 ] . ISSN 1266-4618 doi:10.3406/geoas.1995.1916 ^ 6.0 6.1 6.2 Howie, John M. Fundamentals of Semigroup Theory . Oxford University PressOxford. 1995-12-07. ISBN 978-0-19-851194-6 ^ Wagner, Helmut O. Der Wasserhaushalt des Hochtales von Mexiko . ERDKUNDE. 1952, 6 (2) [2025-08-27 ] . ISSN 0014-0015 doi:10.3112/erdkunde.1952.02.07 ^ Howie, John M. Fundamentals of Semigroup Theory . Oxford University PressOxford. 1995-12-07. ISBN 978-0-19-851194-6 ^ 9.0 9.1 Clifford, A.; Preston, G. The Algebraic Theory of Semigroups, Volume II . Mathematical Surveys and Monographs. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1967-12-31. ISBN 978-0-8218-0272-4 ^ Gonçalves, D; Sobottka, M; Starling, C. Inverse semigroup shifts over countable alphabets . arXiv. 2017. doi:10.1007/s00233-017-9858-5 存档 于） （英语） . ^ Howie, J. W. " Et All., etcc" 2 (4789) [2025-08-27 ] . ISSN 0959-8138 doi:10.1136/bmj.2.4789.883-d ^ Salasin, John; Shrobe, Howie. Evolutionary design of complex software (EDCS) . ACM SIGSOFT Software Engineering Notes. 1995-12, 20 (5) [2025-08-27 ] . ISSN 0163-5948 doi:10.1145/217030.217033 ^ McLean, Daniel G. Concentration gradient limiter designs for incident plane waves and multiple chromophores . SPIE Proceedings (SPIE). 1998-10-12, 3472 [2025-08-27 ] . doi:10.1117/12.326873 ^ Mayergoyz, I.D.; Lawson, W., Thevenin's Theorem and Related Topics , Elsevier: 143–173, 1997 [2025-08-27 ] , ISBN 978-0-08-057228-4 ^ Lawson, Steven F. Pillar of Fire: America in the King Years, 1963–65 . Political Science Quarterly. 1998, 113 (4) [2025-08-27 ] . ISSN 0032-3195 doi:10.2307/2658276 ^ Fountain, J.D. Foundation Information From Exploration Seismic Data . Offshore Technology Conference (OTC). 1979-04-30 [2025-08-28 ] . doi:10.4043/3663-ms
![{\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =\left[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta \right]\alpha ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89edd38b57416e292ea4bdf2e7258fba6ba533c)
