布罗卡问题

未解决的数学问题：除了

n=4,5,7

之外，方程式

n!+1=m^{2}

是否存在其他整数解？

布罗卡问题（英语：Brocard's problem）是数学中的一个问题，旨在寻找使 $n!+1$ 成为完全平方数的整数 $n$ ，其中 $n!$ 表示阶乘。目前仅知三组解：4、5、7，且尚不清楚是否存在更多解。

更正式地说，它寻找整数对 $n$ 和 $m$ ，使得 $n!+1=m^{2}$

该问题由亨利·布罗卡于1876年与1885年的两篇论文中提出^[1]^[2]，并于1913年由斯里尼瓦瑟·拉马努金独立提出^[3]。

布朗数

解决布罗卡问题的数对 $(n,m)$ 由柯利弗德·皮寇弗于1995年著作《通往无限的钥匙》（Keys to Infinity）中命名为布朗数（Brown numbers），此命名源于他从凯文·S·布朗（Kevin S. Brown）处获悉该问题^[4]。截至2022年10月，目前仅知有三组布朗数：

$(4,5),\;(5,11),\;(7,71)$

基于下列等式

$4!+1=5^{2}=25$ $5!+1=11^{2}=121$ $7!+1=71^{2}=5041$

艾狄胥·帕尔推测不存在其他解法^[5]。计算搜索已进行至一兆次，仍未发现更多解法^[6]^[7]^[8]。

与abc猜想的关联

若abc猜想成立，则布朗数仅有有限个^[9]。更普遍而言，abc猜想亦将推导出： $n!+A=k^{2}$ 对于任何给定的整数 $A$ ，其解数目仅为有限个^[10]，且 $n!=P(x)$ 对于任何给定的整系数多项式 $P(x)$ ，其次数至少为2时，仅存在有限个整数解。

参考资料

^ Brocard, H., Question 166, Nouv. Corres. Math., 1876, 2: 287
^ Brocard, H., Question 1532, Nouv. Ann. Math., 1885, 4: 391
^ Ramanujan, Srinivasa, Question 469, Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M. (编), Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing: 327, 2000, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843
^ Pickover, Clifford A., Keys to Infinity, John Wiley & Sons: 170, 1995
^ Erdős, Paul, Quelques problèmes de la théorie des nombres (PDF), Chabauty, C.; Chatelet, A.; Chatelet, F.; Descombes, R.; Pisot, C.; Poitou, G. (编), Introduction à la théorie des nombres, Monographies de l'Enseignement Mathématique 6, University of Geneva: 81–135, 1963 （法语） ; see problème 67, p. 129
^ Berndt, Bruce C.; Galway, William F., On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ (PDF), Ramanujan Journal, 2000, 4 (1): 41–42, MR 1754629, S2CID 119711158, doi:10.1023/A:1009873805276, （原始内容 (PDF)存档于2017-07-03）
^ Matson, Robert, Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, 2017 [2017-05-07], （原始内容 (PDF)存档于2018-10-06）
^ Epstein, Andrew; Glickman, Jacob, C++ Brocard GitHub Repository, 2020
^ Overholt, Marius, The Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ , The Bulletin of the London Mathematical Society, 1993, 25 (2): 104, MR 1204060, doi:10.1112/blms/25.2.104
^ Dąbrowski, Andrzej, On the Diophantine equation $x! + A = y 2$ , Nieuw Archief voor Wiskunde, 1996, 14 (3): 321–324, MR 1430045

延伸阅读

Guy, R. K., D25: Equations involving factorial $n$ , Unsolved Problems in Number Theory 3rd, New York: Springer-Verlag: 301–302, 2004
Makki Naciri, Abderrahim, On the variant Q(n!)=P(x) of the Brocard-Ramanujan Diophantine equation., Ramanujan Journal, 2024, 65 (2): 1791–1798, doi:10.1007/s11139-024-00960-0

外部链接

Weisstein, Eric W. (编), Brocard's Problem, (Brown Numbers), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. （英语）
Copeland, Ed, Brown Numbers, Numberphile (Brady Haran), [2013-04-06], （原始内容存档于2014-11-09）

[broc1-1] Brocard, H., Question 166, Nouv. Corres. Math., 1876, 2: 287

[broc2-2] Brocard, H., Question 1532, Nouv. Ann. Math., 1885, 4: 391

[ramanujan-3] Ramanujan, Srinivasa, Question 469, Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M. (编), Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing: 327, 2000, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843

[pickover-4] Pickover, Clifford A., Keys to Infinity, John Wiley & Sons: 170, 1995

[erdos-5] Erdős, Paul, Quelques problèmes de la théorie des nombres (PDF), Chabauty, C.; Chatelet, A.; Chatelet, F.; Descombes, R.; Pisot, C.; Poitou, G. (编), Introduction à la théorie des nombres, Monographies de l'Enseignement Mathématique 6, University of Geneva: 81–135, 1963 （法语） ; see problème 67, p. 129

[bergal-6] Berndt, Bruce C.; Galway, William F., On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ (PDF), Ramanujan Journal, 2000, 4 (1): 41–42, MR 1754629, S2CID 119711158, doi:10.1023/A:1009873805276, （原始内容 (PDF)存档于2017-07-03）

[matson-7] Matson, Robert, Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, 2017 [2017-05-07], （原始内容 (PDF)存档于2018-10-06）

[epsgli-8] Epstein, Andrew; Glickman, Jacob, C++ Brocard GitHub Repository, 2020

[overholt-9] Overholt, Marius, The Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ , The Bulletin of the London Mathematical Society, 1993, 25 (2): 104, MR 1204060, doi:10.1112/blms/25.2.104

[dabrowski-10] Dąbrowski, Andrzej, On the Diophantine equation $x! + A = y 2$ , Nieuw Archief voor Wiskunde, 1996, 14 (3): 321–324, MR 1430045

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