希尔密码

希尔密码是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。

每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量，跟一个n×n的矩阵相乘，再将得出的结果模26。

注意用作加密的矩阵（即密匙）在$\mathbb {Z} _{26}^{n}$必须是可逆的，否则就不可能解码。只有矩阵的行列式和26互质，才是可逆的。

例子

考虑讯息ACT，因为A=0，C=2，T=19，讯息是：

${\begin{pmatrix}0\\2\\19\end{pmatrix}}$

设密匙为

${\begin{pmatrix}6&24&1\\13&16&10\\20&17&15\end{pmatrix}}$

确认它是可逆的：

${\begin{vmatrix}6&24&1\\13&16&10\\20&17&15\end{vmatrix}}\equiv 6(16\cdot 15-10\cdot 17)-24(13\cdot 15-10\cdot 20)+1(13\cdot 17-16\cdot 20)\equiv 441\equiv 25\mod 26$

加密过程：

${\begin{pmatrix}6&24&1\\13&16&10\\20&17&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\2\\19\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}67\\222\\319\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}15\\14\\7\end{pmatrix}}\mod 26$

对应的密文便是“POH”。

解码

假设对方知道密文和密匙，首先找出密匙的逆矩阵：

${\begin{pmatrix}8&5&10\\21&8&21\\21&12&8\end{pmatrix}}$

将逆矩阵和密文相乘：

${\begin{pmatrix}8&5&10\\21&8&21\\21&12&8\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}8&5&10\\21&8&21\\21&12&8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}15\\14\\7\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}260\\574\\539\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}0\\2\\19\end{pmatrix}}\mod 26$

便得到“ACT”。