指数分布

指数分配

概率密度函数
累积分布函数
参数	$\lambda >0\,$ 率
值域	$x\in [0;\infty )\!$
概率密度函数	$\,\lambda e^{-\lambda x}$
累积分布函数	$1-e^{-\lambda x}$
期望	$\lambda ^{-1}\,$
中位数	$\ln(2)/\lambda \,$
众数	$0\,$
方差	$\lambda ^{-2}\,$
偏度	$2\,$
峰度	$6\,$
熵	$1-\ln(\lambda )\,$
矩生成函数	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,$
特征函数	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,$

在概率论和统计学中，指数分布（英语：Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来建模平均发生率恒定、连续、独立的事件发生的间隔，比如旅客进入机场的时间间隔、电话打进客服中心的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔、机器的寿命等。

记号

指数分布即形状参数 $\alpha$ 为1的伽玛分布。

若随机变量$X$服从参数为$\lambda$或$\beta$的指数分布，则记作

$X\sim {\text{Exp}}(\lambda )$ 或 $X\sim {\text{Exp}}(\beta )$

两者意义相同，只是$\lambda$与$\beta$互为倒数关系。只要将以下式子做${\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}$的替换即可，即，指数分布之概率密度函数为：

$f(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}\lambda }e^{-{\color {Red}\lambda }x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

或

$f(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

累积分布函数为：

$F(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\color {Red}{\lambda }x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

或

$F(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

其中$\lambda >0$是分布的参数，即每单位时间发生该事件的次数；$\beta$为尺度参数，即该事件在每单位时间内的发生率。两者常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是[0,∞)。

特性

期望与方差

随机变量 $X$（$X$ 的参数为 $\lambda$ 或 $\beta$）的期望是：

$\mathbf {E} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda }}}={\color {Red}\beta }$

例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

$X$ 的方差是：

$\mathbf {Var} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}={\color {Red}\beta ^{2}}$

$X$ 的偏态系数是： $\mathbf {V} [X]=1$

无记忆性

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

$P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.$

与泊松过程的关系

泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第 $k$ 次随机事件与第 $k+1$ 次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为 $t$ 的时间段内没有随机事件出现的概率等于

${\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{0}}{0!}}=e^{-\lambda t}$,

长度为 $t$ 的时间段内随机事件发生一次的概率等于 ${\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{1}}{1!}}=e^{-\lambda t}\lambda t$， 所以第 $k$ 次随机事件之后长度为 $t$ 的时间段内，第 $k+n$ 次（$n=1,2,3,\cdots$）随机事件出现的概率等于$1-e^{-\lambda t}$。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

四分位数

率参数 $\lambda$ 的四分位数函数（Quartile function）是：

$F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1$

• 第一四分位数：${\frac {\ln({\frac {4}{3}})}{\lambda }}$
• 中位数：${\frac {\ln(2)}{\lambda }}$
• 第三四分位数：${\frac {\ln(4)}{\lambda }}$

因此，四分位距为${\frac {\ln(3)}{\lambda }}$。

参数估计

最大似然法

给定独立同分布样本 $x=x_{1},\cdots ,x_{n}$，$\lambda$ 的似然函数（Likelihood function）是：

$L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \,\exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\,\exp \!\left(\!-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right)$

其中：

${\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$是样本期望値。

似然函数对数的导数是：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left(n\ln(\lambda )-\lambda n{\overline {x}}\right)={n \over \lambda }-n{\overline {x}}\ \left\{{\begin{matrix}>0&{\mbox{if}}\ 0<\lambda <{\frac {1}{\overline {x}}},\\\\=0&{\mbox{if}}\ \lambda ={\frac {1}{\overline {x}}},\\\\<0&{\mbox{if}}\ \lambda >{\frac {1}{\overline {x}}}.\end{matrix}}\right.$

参数 $\lambda$ 的最大似然估计（Maximum likelihood）值是：

${\widehat {\lambda }}={\frac {1}{\overline {x}}}$

参见

• 拉普拉斯分布（又称：双指数分布）
• 几何分布

参考文献

1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
2. Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

外部链接

• 指数分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆）