次方数

提示：此条目的主题不是次元数。

用古氏积木说明4, 8, 9是次方数

次方数，也称为累乘数、幂次数（英语：Perfect power），是指一正整数n可以表示为另一正整数的平方、立方或更高次方。n为次方数的条件是存在正整数m > 0及k > 1使得m^k = n，此时n可以称为完全k次方数，若k = 2或k = 3，n可以称为平方数或立方数。由于针对任意正整数k，1^k = 1均成立，0^k = 0也成立，因此有时也将0, 1视为次方数。

次方数的列表和倒数和

次方数数列可以用将m和k代换不同的整数值而得，以下是头几个次方数（允许重复数字）（OEIS数列A072103）:

$2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,$ $2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots$

次方数倒数的和（其中可以有重复的次方数，像3⁴和9²都是81）为1：

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.$

可以用下式证明：

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.$

没有重复的的次方数如下：

（有时会有0和1）4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... （OEIS数列A001597）

没有重复的次方数，倒数和为：

$\sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

其中μ(k)是默比乌斯函数，and ζ(k)是黎曼ζ函数。

依莱昂哈德·欧拉所述，克里斯蒂安·哥德巴赫曾在信上证明（而信没有留下），若p是0,1以外的次方数，且不考虑重复次方数，1/p − 1的和为1：

$\sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.$

有时会称为哥德巴赫-欧拉定理。

次方数之间的间距

2002年时，罗马尼亚数学家Preda Mihăilescu证明了唯一一组连续的次方数是2³ = 8和3² = 9，证明了卡塔兰猜想。

Pillai猜想指出针对任意正整数k，只有有限对次方数的间距会是k，此问题目前还未解决。