次调和函数

次调和函数（subharmonic）是数学上对函数的一种分类，常用在偏微分方程、复变分析及位势论中。

次调和函数类似单变数的凸函数。若一凸函数和一线段相交于二点，在这二点内凸函数的图形会在线段的下方。相似的，若在次调和函数在球边界上的值不大于调和函数的值，则若在次调和函数在球内的值也不大于调和函数的值。

若将以上的“不大于”改为“不小于”，就可以定义过调和函数（Superharmonic）。过调和函数其实就是次调和函数的加法逆元，因此有关次调和函数的性质都可以转换为过调和函数的对应性质。

正式定义

次调和函数的正式定义可以表示如下。令$G$是欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$的子集，且令 $$\varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$$ 为上半连续函数。则$\varphi$称为次调和函数，若针对所有$G$内，球心为$x$，半径为$r$的闭球${\overline {B(x,r)}}$，以及闭球${\overline {B(x,r)}}$内的实值连续函数$h$，在$B(x,r)$上为调和函数，且在$B(x,r)$边界$\partial B(x,r)$上的每一个$y$，都可以使$\varphi (y)\leq h(y)$成立。也就可以得到$\varphi (y)\leq h(y)$在所有$y\in B(x,r)$都成立。

若函数$u$为次调和函数，则函数$-u$即为过调和函数。

性质

• 一函数为调和函数当且仅当其为次调和函数且是过调和函数。
• 若$\phi$在$\mathbb {R} ^{n}$内的开集$G$中为C²（二次连续可微），则$\phi$为次调和函数当且仅当在$G$内$\Delta \phi \geq 0$成立，其中$\Delta$为拉普拉斯算子。
• 次调和函数的最大值在其内部的条件是该函数为常数，此为最大值定理，王过，次调和函数的最小值可以在其内部。
• 次调和函数形成凸锥，也就是说，次调和函数正系数的线性组合，仍为次调和函数。
• 二个次调和函数的逐点最大值也是次调和函数。
• 次调和函数的递减级数的极限也是次调和函数。
• 在一般的拓朴下，次调和函数不一定是连续的。不过可以引进fine topology使其连续。

相关条目

• 多重次调和函数：在多复变变数函数下的推广。

参考资料

• Conway, John B. Functions of one complex variable. New York: Springer-Verlag. 1978. ISBN 0-387-90328-3. 

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