数学 中的顶点算子代数 （英语：Vertex operator algebra ，缩写 ：VOA ）为一代数结构，于二维共形场论 及弦论 扮演了非常重要的角色，此外并应用在物理上，而顶点算子代数在基础数学方面更已经被证实其用处，如在怪兽月光理论 及几何朗兰兹纲领 。
因著Igor Frenkel 曾提出想构造一无限维李代数，1986年由理查德·博赫兹 (Richard Borcherds)提出一个相关的名词 顶点代数 ，在这样的路径发展后，人们允以附络向量之顶点算子作用之Fock 空间 ，而Borcherds 透过将络顶点算子间的关联及名词公理化后，造出允许Frenkel所提方法构造新李代数的代数结构。
顶点算子代数的名词引入则是于1988年由Igor Frenkel、James Lepowsky 与 Arne Meurman 修正顶点代数后而被正式提出，作为它们计画中构造月光模 的部分方法。他们发现很多的顶点代数很自然地就给出了有用的加法结构(Virasoro 代数之作用)，并且满足关于能量算子之有界下方性质，基于如此的观察，他们添加了Virasoro 作用与有界下方性质于所提公理中。
名词提出后我们亦于物理上观察并检核这些名词的概念，并有起初公理提出时并未明的几种解释。物理上，顶点算子是在允许算子积展开 附加之二维共形场中，由其上的点上附加全纯场而提出 (i.e., 顶点) ，而其所附加的全纯场相互碰撞时，并恰好满足顶点算子代数公理下所指之关联性。实际上，顶点算子代数公设就是物理学家称为chiral代数 或 "chiral对称代数"的正式代数解释，而该对称代数描述了由共形场论给出包含保守不变量的Ward恒等式。其馀顶点代数公理之公式包含博赫兹后续于奇异交换环的工作、由Huang, Kriz等提出于某曲线上算子上之代数、以及由亚历山大·贝林森 (Alexander Beilinson)和弗拉基米尔·德林费尔德 (Vladimir Drinfeld)提出称为chiral代数 D-模 -理论之物等[ 1]
顶点算子代数基础之重要例子包含络顶点算子代数(用以模式化络保守场论)、由仿射 卡茨-穆迪代数 (自WZW模型 )之表示给定之顶点算子代数、Virasoro 顶点算子代数 (i.e.,对应 维拉宿代数 表示之顶点算子代数) 与 月光模 V ♮ 等；至于较复杂的例子就如由几何表示理论及数学物理 引出在复流形上的仿射 W-代数 与chiral de Rham复丛 等。
一顶点代数 由以下资料组成：
向量空间
V
{\displaystyle V}
单位元
1
∈
V
{\displaystyle 1\in V}
自同态
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\to V}
乘法性映射:
Y
:
V
⊗
V
→
V
(
(
z
)
)
{\displaystyle Y:V\otimes V\to V((z))}
V
(
(
z
)
)
{\displaystyle V((z))}
V
{\displaystyle V}
形式洛朗级数 此乘法映射常被写作“状态—场 对应
Y
:
V
→
E
n
d
(
V
)
[
[
z
±
1
]
]
{\displaystyle Y:V\to End(V)[[z^{\pm 1}]]}
给
V
{\displaystyle V}
a
{\displaystyle a}
形式分布
Y
(
a
,
z
)
{\displaystyle Y(a,z)}
顶点算子 ”，乘法性映射则写作
(
a
,
b
)
↦
Y
(
a
,
z
)
b
=
∑
n
∈
Z
a
n
b
z
−
n
−
1
{\displaystyle (a,b)\mapsto Y(a,z)b=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}bz^{-n-1}}
b
∈
V
{\displaystyle b\in V}
N
{\displaystyle N}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
a
n
∈
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle a_{n}\in End(V)}
a
n
b
=
0
{\displaystyle a_{n}b=0}
T 则是无穷小位移之一生成元。
并满足以下公理:
(单位 ) 对任意
a
∈
V
{\displaystyle a\in V}
Y
(
1
,
z
)
a
=
a
=
a
z
0
{\displaystyle Y(1,z)a=a=az^{0}}
Y
(
a
,
z
)
1
∈
a
+
z
V
[
[
z
]
]
{\displaystyle Y(a,z)1\in a+zV[[z]]}
(位移 )
T
(
1
)
=
0
{\displaystyle T(1)=0}
a
,
b
∈
V
{\displaystyle a,b\in V}
[
T
,
Y
(
a
,
z
)
]
b
=
T
Y
(
a
,
z
)
b
−
Y
(
a
,
z
)
T
b
=
d
d
z
Y
(
a
,
z
)
b
{\displaystyle [T,Y(a,z)]b=TY(a,z)b-Y(a,z)Tb={\frac {d}{dz}}Y(a,z)b}
(四顶点函数 ) 对任意
a
,
b
,
c
∈
V
{\displaystyle a,b,c\in V}
X
(
a
,
b
,
c
;
z
,
w
)
∈
V
[
[
z
,
w
]
]
[
z
−
1
,
w
−
1
,
(
z
−
w
)
−
1
]
{\displaystyle X(a,b,c;z,w)\in V[[z,w]][z^{-1},w^{-1},(z-w)^{-1}]}
Y
(
a
,
z
)
Y
(
b
,
w
)
c
{\displaystyle Y(a,z)Y(b,w)c}
Y
(
b
,
w
)
Y
(
a
,
z
)
c
{\displaystyle Y(b,w)Y(a,z)c}
Y
(
Y
(
a
,
z
−
w
)
b
,
w
)
c
{\displaystyle Y(Y(a,z-w)b,w)c}
X
(
a
,
b
,
c
;
z
,
w
)
{\displaystyle X(a,b,c;z,w)}
V
(
(
z
)
)
(
(
w
)
)
{\displaystyle V((z))((w))}
V
(
(
w
)
)
(
(
z
)
)
{\displaystyle V((w))((z))}
V
(
(
w
)
)
(
(
z
−
w
)
)
{\displaystyle V((w))((z-w))}
“四顶点函数”公理统一了（误差不过奇异值之）结合律 与交换律 。位移公理涵蕴
Ta = a-2 1 ，故Y 决定了T 的值。
一Z + -分阶顶点代数 为
一顶点代数
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
V
=
⨁
n
=
0
∞
V
n
{\displaystyle V=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V_{n}\,}
使对任意
a
∈
V
k
{\displaystyle a\in V_{k}}
b
∈
V
m
{\displaystyle b\in V_{m}}
a
n
b
∈
V
k
+
m
−
n
−
1
{\displaystyle a_{n}b\in V_{k+m-n-1}}
设有一Z + -分阶顶点代数，其一 Virasoro 元 为 V 2 中一元素 ω ，使顶点算子
Y
(
ω
,
z
)
=
∑
n
∈
Z
ω
(
n
)
z
−
n
−
1
=
∑
n
∈
Z
L
n
z
−
n
−
2
{\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\omega _{(n)}{z^{-n-1}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}
符合以下条件:
对任意
a
∈
V
n
{\displaystyle a\in V_{n}}
L
0
a
=
n
a
{\displaystyle L_{0}a=na}
Y
(
L
−
1
a
,
z
)
=
d
d
z
Y
(
a
,
z
)
=
[
Y
(
a
,
z
)
,
T
]
{\displaystyle Y(L_{-1}a,z)={\frac {d}{dz}}Y(a,z)=[Y(a,z),T]}
[
L
m
,
L
n
]
a
=
(
m
−
n
)
L
m
+
n
a
+
δ
m
+
n
,
0
m
3
−
m
12
c
a
{\displaystyle [L_{m},L_{n}]a=(m-n)L_{m+n}a+\delta _{m+n,0}{\frac {m^{3}-m}{12}}ca}
其中 c 为一常值，称“中心荷 ”（central charge）， 或“V 之秩 ”。 此亦使V 成为 维拉宿代数 的一表示。
Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986) 3068-3071
Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. Pure and Applied Mathematics, 134. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5
Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. Mathematical Surveys and Monographs, 88. American Mathematical Society, 2001. xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
Huang Yi Zhi,《Two-Dimensional Conformal Geometry and Vertex Operator Algebras》(Progress in Mathematics) ISBN 0817638296
Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, University Lecture Series, 10. , 亚美利根数学会, 1996. ISBN 0-8218-0643-2
^ 存档副本 . [2006-12-09 ] . （原始内容 存档于2008-08-30）.
![{\displaystyle Y:V\to End(V)[[z^{\pm 1}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93cc649041b15085c6bf62bc740081cf818da947)
![{\displaystyle Y(a,z)1\in a+zV[[z]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90db50da6bb3d205fb91ba528053c8b0efff08e)
![{\displaystyle [T,Y(a,z)]b=TY(a,z)b-Y(a,z)Tb={\frac {d}{dz}}Y(a,z)b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df83f92954e14cdefed0ef979d39cb08e427755)
![{\displaystyle X(a,b,c;z,w)\in V[[z,w]][z^{-1},w^{-1},(z-w)^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee40fcc6df824230fed295673e89ff51c2ba793f)
![{\displaystyle Y(L_{-1}a,z)={\frac {d}{dz}}Y(a,z)=[Y(a,z),T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac4c5b75d1f5c8d7ef782e915f186650807c8d9)
![{\displaystyle [L_{m},L_{n}]a=(m-n)L_{m+n}a+\delta _{m+n,0}{\frac {m^{3}-m}{12}}ca}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478a288a516a69db0932f6330c936664d58191bc)