用户:Jackliao93/虚拟乐器建模

虚拟乐器建模(virtual instrument modeling)是一种将真实乐器的声音、反应和演奏特性模拟出来，使其能够在电脑或数位音乐制作系统中被弹奏或编辑的技术。这项技术广泛应用于音乐制作、电影配乐、游戏音效设计和虚拟实境中。

现今针对虚拟乐器建模的处理方式有两大主流，一个是取样(Sampling)，透过录音的方式，将真实乐器在各种音高、力度、奏法下的声音录制下来，优点是声音真实度高，但需要大量储存空间，且动态变化或过渡音效较难重现；另一个是物理建模，使用数学方程式模拟乐器物理结构与振动行为（如琴弦、空气柱、共鸣箱的动态）以产生声音，灵活地反映演奏者动作，且相比于取样，占用空间小，但需要复杂的数学与声学知识。

物理建模

弦乐器的物理建模

弦乐器的波动方程如下：

${\partial ^{2}y(x,t) \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}y(x,t) \over \partial x^{2}}$

其中，$y(x,t)$是弦在位置$x$与时间$t$的位移；$c$是波速，定义为${\sqrt {T \over \mu }}$，$T$是绳张力，而$\mu$为线密度。

对于两端的弦，边界条件如下

$y(0,t)=y(L,t)=0$

解完偏微分方程式后将得到驻波解

$y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {{n\pi x} \over L}\cos {(\omega _{n}t+\phi _{n})}$

然而，上述解还仅是理想情况下，如果是真实的情况还得考虑阻尼及摩擦力，情况会复杂许多。

管乐器的物理建模

空气柱的压力变化也可以用波动方程来描述：

${{\partial ^{2}p(x,t)} \over {\partial t^{2}}}=c^{2}{{\partial ^{2}p(x,t)} \over {\partial x^{2}}}$

其中，$p(x,t)$为空气柱内的压力；$c$为声速，取决于温度。

边界条件如下

${{\partial p} \over {\partial x}}=0$，此时为压力极大点；$p=0$，此时为压力节点。

有限差分法(FDTD)

有限差分法是通过有限差分来近似导数，从而寻求微分方程式的近似解。从而寻求微分方程式的近似解。

在使用FDTD时，第一步要先将问题离散化，将问题用均匀网格分割。而波动方程很难有封闭解，因此常使用数值法离散化：

${{{y_{i}^{n+1}}-2{y_{i}^{n}}+{y_{i}^{n-1}}} \over {\Delta t^{2}}}=c^{2}{{{y_{i+1}^{n}}-2{y_{i}^{n}}+{y_{i-1}^{n}}} \over {\Delta x^{2}}}$

这可在时间域上模拟弦的振动，输出数据再进行滤波与转换即可生成声音。以上的式子为其中一种解法，叫做显式解法，利用在时间$t_{n}$的前向差分，以及在位置$x_{j}$的二阶中央差分，细节的作法可至有限差分法的维基百科或其他网页了解。

取样

取样是将讯号从连续时间域上的类比讯号转换到离散时间域上的离散讯号的过程，以取样器实现。通常取样与量化联合进行，类比讯号先由取样器按照一定时间间隔取样获得时间上离散的讯号，再经类比数位转换器（ADC）在数值上也进行离散化，从而得到数值和时间上都离散的数位讯号。

在虚拟乐器处理方面，本质是将真实乐器在各种演奏条件下的声音录音保存，然后透过数位方式根据 MIDI 指令回放对应声音档。每个声音样本可表示为：

$s(t)=$ 录音音讯 $\in {\mathbb {R} ^{N}}$

其中 $s(t)$为离散时间的数位音讯样本（WAV档、AIFF 等），每个样本与音高、演奏强度、奏法(legato、staccato、pizzicato)和输出通道。

设计概念

可抽象为一个三或四维索引表：

$S[i,j,k,l]=$ 第 i 个音高，第 j 个力度，第 k 种奏法，第 l 种麦克风位置

时间与音高的弹性处理

并非所有乐器会录制所有音高，这时转换音高时，会透过相位声码器等时间频率处理工具改变。

Shifted Sample $=FFT(s)\longrightarrow$ Frequency Rescale $\longrightarrow IFFT(s)$

或是透过时间伸缩的方式改变样本长度。

范例：钢琴的建模模拟

将实体钢琴（如 Steinway D, Yamaha C7）用高品质麦克风在不同条件下录制下来：

• 每一个 MIDI 音符录 8～32 层不同 velocity 的打键
• 为每颗音录制不同奏法（如 pedal on/off）
• 加上 release samples、resonance samples 等补充声效

优点是声音真实，因为直接来自钢琴录音，且插入即用，对系统负担较低；缺点是档案非常大，常常动辄10GB以上，且缺乏弹性，难以动态调整音色。

外部链接

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