塑膠數

塑膠數

塑膠數
數表—無理數 $\color {blue}{\sqrt {2}}$ - $\color {blue}\varphi$ - $\color {blue}{\sqrt {3}}$ - $\color {blue}{\sqrt {5}}$ - $\color {blue}\delta _{S}$ - $\color {blue}e$ - $\color {blue}\pi$
識別
種類	無理數
符號	$\rho$
位數數列編號	A060006
性質
連分數	[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...]
以此為根的多項式或函數	$x^{3}-x-1=0\,$
表示方式
值	$\rho \approx$1.3247179572...
代數形式	${\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}$
二進制	1.010100110010000010110111…
八進制	1.246202672354510453326027…
十進制	1.324717957244746025960908…
十六進制	1.5320B74ECA44ADAC178897C4…

塑膠數或銀數是一元三次方程 $x^{3}=x+1\,$ 的唯一一個實數根，其值為

${\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}$

約等於$1.3247179572447460259609$ （OEIS數列A060006）。

塑膠數對於佩蘭數列和巴都萬數列，就如黃金分割對於斐波那契數列——是兩項的比的極限。它亦是最小的皮索數。

塑膠數的來源

塑膠數是方程$x^{3}=x+1\,$的唯一實數根。

對於方程$x^{3}=x+1\,$，現將等式右邊變為0，即

$x^{3}-x-1=0\,$

由勘根定理可判斷出該實根大小介於1與2之間，設

$x={\frac {\lambda }{y}}+y\,$，

則

$y={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-4\lambda }}\,$

得到

$-1-y-{\frac {\lambda }{y}}+\left(y+{\frac {\lambda }{y}}\right)^{3}=0\,$

等式兩邊同時乘 $y^{3}$ 得

$y^{6}+y^{4}\left(3\lambda -1\right)-y^{3}+y^{2}\left(3\lambda ^{2}-\lambda \right)+\lambda ^{3}=0\,$

令$\lambda ={\frac {1}{3}}\,$，將其帶入上面方程，並設$z=y^{3}\,$，得到一個$z$的二次方程

$z^{2}-z+{\frac {1}{27}}=0\,$

解得

$z={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,$

根據$z=y^{3}\,$，得

$y^{3}={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,$

則$y$有實數解

$y={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,$

根據$y$與$\lambda$的關係，得$y={\tfrac {x}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-{\tfrac {4}{3}}}}\,$，得$x$的實數解

$x={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,$