行列式的萊布尼茨公式

在代數中，為紀念戈特弗里德·萊布尼茨而得名的萊布尼茨公式，用矩陣元素的置換表示了方塊矩陣的行列式。若 $A$ 為 $n\times n$，以 $a_{ij}$ 表示 $A$ 的第 $i$ 列（row）與第 $j$ 行（column），則萊布尼茨公式為： $$\det \left(A\right)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma \left(i\right)}=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\tau \right)\prod _{i=1}^{n}a_{\tau \left(i\right)i}$$ 其中 $\operatorname {sgn}$ 為置換群 $S_{n}$ 中的置換的符號，當其中為偶置換時給出 $+1$，而當其中是奇置換時給出 $-1$。

另一種常見的，物理學家可能更熟悉的記號是依據列維-奇維塔符號並利用愛因斯坦求和約定將公式表示為 $$\det \left(A\right)=\varepsilon _{i_{1},\dots ,i_{n}}a_{1,i_{1}}\cdots a_{n,i_{n}}.$$

因為 $n!$ 是 $n$ 階置換的數量，直接根據定義計算萊布尼茨公式一般需要 $\Omega \left(n!\cdot n\right)$ 步。換言之，運算次數與 $n$ 的階乘漸進成比例。即使對較小的 $n$ 來說，此方法也是困難、不明智且不可行的。另一策略是通過高斯消元法或類似方法利用LU分解 $A=LU$ 在 $O\left(n^{3}\right)$ 步內計算行列式，此時 $\det \left(A\right)=\det \left(L\right)\cdot \det \left(U\right)$，並且三角陣 $L$ 和 $U$ 的行列式僅為其對角項之積。（但是在數值線性代數的實際應用中很少需要顯式計算行列式）。參見腳註。通過矩陣乘法可以簡化行列式的計算，使其用少於 $O\left(n^{3}\right)$ 步就可以計算，但是這些算法中的大多數是不實用的。

正式陳述和證明

Theorem — 存在唯一的映射 $F:M_{n}\left(\mathbb {K} \right)\mapsto \mathbb {K}$ 關於行是交替多線性映射且 $F\left(I\right)=1$。

證明如下：

唯一性

令 $F$ 為定理中所言的映射，$A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}_{i,j=1,2,\dots ,n}$ 是 $n\times n$ 矩陣。用 $A_{j}$ 表示 $A$ 的第 $j$ 行，換言之 $A_{j}=\left(a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{nj}\right)^{T}$，因此 $A=\left(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\right)$。

同時，令 $e_{k}$ 表示 $\left(0,\dots ,1,\dots ,0\right)^{T}$，其中 $1$ 在第 $k$ 位，也就是單位矩陣的第 $k$ 個行向量。

現在用 $e_{k}$ 表示 $A_{j}$ 的項：$$A_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}e_{k}\quad j=1,2,\dots ,n.$$

由於 $F$ 是多線性的，可得 $$F\left(A\right)=F\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k1}e_{k},\dots ,\sum _{k=1}^{n}a_{kn}e_{k}\right)=\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{n}F\left(e_{k_{1}},\dots ,e_{k_{n}}\right)\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}i}.$$

由交替性，上式中求和指標相同（即存在 $1\leq p<q\leq n$ 使 $k_{p}=k_{q}$）的項皆為零。因此該和的求和指標一定是無重複的元組，即置換：$$F\left(A\right)=\sum _{\sigma \in S_{n}}F\left(e_{\sigma \left(1\right)},\dots ,e_{\sigma \left(n\right)}\right)\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma \left(i\right)i}.$$

因為 $F$ 是交替的，因此可以通過對換行 $e_{k}$ 得到單位矩陣。符號 $\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)$ 定義為必要的對換的數量和由此產生的符號變化。最終得到：$${\begin{aligned}F\left(A\right)=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)F\left(I\right)\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma \left(i\right)i}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma \left(i\right)i}\\\end{aligned}}$$ 因為 $F\left(I\right)=1$。

因此除了萊布尼茨公式定義的映射，其餘映射皆不是$F\left(I\right)=1$的交替多線性映射。

這一定義方式也稱為行列式的公理化定義。

存在性

現在證明由萊布尼茨公式定義的 $F$ 有以下三條性質。

多線性

設 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}_{i,j=1,2,\dots ,n}$，並設 $A_{k}=\lambda 'A'_{k}+\lambda ''A''_{k}$，其中撇號指出了輔助矩陣 $$A'=\left(A_{1},\dots ,A_{k-1},A'_{k},A_{k+1},\dots ,A_{n}\right),$$ $$A''=\left(A_{1},\dots ,A_{k-1},A''_{k},A_{k+1},\dots ,A_{n}\right).$$ 根據條件 $$a_{jk}=\lambda 'a'_{jk}+\lambda ''a''_{jk},\quad j=1,2,\dots ,n.$$ $F\left(A\right)$ 關於第 $k$ 行的元素的線性可以給出下述論斷。由定義 $$F\left(A\right)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)a_{\sigma \left(1\right)1}\cdots a_{\sigma \left(k\right)k}\cdots a_{\sigma \left(n\right)n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}p_{\sigma }a_{\sigma \left(k\right)k},$$ 其中 $p_{\sigma }$ 不依賴於行 $A_{k}$ 的元素。將求和指標滿足 $\sigma \left(k\right)=j,\sigma \in S_{n}$ 的 $p_{\sigma }$ 合併同類項，並設 $\alpha _{j}=\sum _{\sigma \left(k\right)=j}p_{\sigma }$，我們就得到了所需的多線性 $${\begin{aligned}F\left(\dots ,A_{k},\dots \right)=&\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}a_{jk},\\F\left(\dots ,\lambda 'A'_{k}+\lambda ''A''_{k},\dots \right)=&\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\left(\lambda 'a'_{jk}+\lambda ''a''_{jk}\right)\\=&\lambda '\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}a'_{jk}+\lambda ''\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}a''_{jk}\\=&\lambda 'F\left(\dots ,A'_{k},\dots \right)+\lambda ''F\left(\dots ,A''_{k},\dots \right).\\\end{aligned}}$$ 簡言之：$$F\left(A\right)=\lambda 'F\left(A'\right)+\lambda ''F\left(A''\right).$$

因此 $F$ 滿足多線性。

交替性

設 $A'$ 是由 $A$ 交換行 $A_{s},A_{t}$ 得到的矩陣，也就是說 $A'_{s}=A_{t},A'_{t}=A_{s}$，若 $j\neq s,t$ 則 $A'_{j}=A_{j}$。將任意置換 $\pi \in S_{n}$ 寫成 $\pi =\sigma \tau$ 的形式，其中 $\tau =\left(st\right)$ 是一個對換（參見），我們有$${\begin{aligned}F\left(A'\right)=&\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\pi \right)a'_{\pi \left(1\right)1}\cdots a'_{\pi \left(n\right)n}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \tau \right)a'_{\sigma \tau \left(1\right)1}\cdots a'_{\sigma \tau \left(s\right)s}\cdots a'_{\sigma \tau \left(t\right)t}\cdots a'_{\sigma \tau \left(n\right)n}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \tau \right)a'_{\sigma \left(1\right)1}\cdots a'_{\sigma \left(t\right)s}\cdots a'_{\sigma \left(s\right)t}\cdots a'_{\sigma \left(n\right)n}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \tau \right)a_{\sigma \left(1\right)1}\cdots a_{\sigma \left(t\right)t}\cdots a_{\sigma \left(s\right)s}\cdots a_{\sigma \left(n\right)n}\\=&-\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)a_{\sigma \left(1\right)1}\cdots a_{\sigma \left(t\right)t}\cdots a_{\sigma \left(s\right)s}\cdots a_{\sigma \left(n\right)n}\\=&-F\left(A\right)\\\end{aligned}}$$

進一步地，若 $A_{s},A_{t}$ 兩行相同，則將其交換後有 $A'=A$。於是 $F\left(A\right)=F\left(A'\right)=-F\left(A\right)$，因此 $F\left(A\right)=0$。因此 $F$ 滿足交替性。

單位矩陣的行列式為一

最後，$F(I)=1$：$${\begin{aligned}F\left(I\right)=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma \left(i\right)i}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\prod _{i=1}^{n}\delta _{i,\sigma \left(i\right)}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\delta _{\sigma ,\operatorname {id} _{\left\{1\ldots n\right\}}}\\=&\operatorname {sgn} \left(\operatorname {id} _{\left\{1\ldots n\right\}}\right)\\=&1\end{aligned}}$$

小結

因此唯一滿足 $F\left(I\right)=1$ 交替多線性映射刻畫了萊布尼茨公式定義的映射，並且該映射實際上也具有這三條性質。因此行列式可以定義為具有這三條性質的唯一映射 $M_{n}\left(\mathbb {K} \right)\mapsto \mathbb {K}$。

參見

• 矩陣
• 拉普拉斯展開
• 克萊姆法則

外部連結

• Determinant, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英語）