前推 (微分)

假設 $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑流形之間的光滑映射；則 $\phi$ 在一點 $x$ 處的微分在某種意義上是 $\phi$ 在 $x$ 附近的最佳線性逼近。這可以視為通常微積分中全導數的推廣。確切地說，它是從 $M$ 在 $x$ 處的切空間到 $N$ 在 $\phi (x)$ 處的切空間的一個線性映射，從而可以將 $M$ 的切向量「前推」成 $N$ 的切向量。

映射 $\phi$ 的微分也被一些的作者稱為 $\phi$ 的導數或全導數，有時它自己也之稱為前推（pushforward）。

動機

設 $\phi :U\rightarrow V$ 是從 $\mathbb {R} ^{m}$ 的一個開集 $U$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的開集 $V$ 的一個光滑映射。對任何 $U$ 中的給定點 $x$ ， $\phi$ 在 $x$ 的雅可比矩陣（關於標準坐標）是 $\phi$ 在 $x$ 的全微分的矩陣表示，這是一個從 $\mathbb {R} ^{m}$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的線性映射：

\mathrm {d} \varphi _{x}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}\ .

我們希望將其推廣到 $\phi$ 是「任何」兩個光滑流形 $M$ 與 $N$ 之間的光滑映射。

光滑映射的微分

令 $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑流形間的光滑映射。給定某點 $x\in M$ ， $\phi$ 在 $x$ 的微分或（全）導數是從 $M$ 在 $x$ 的切空間到 $N$ 在 $\phi (x)$ 的切空間一個線性映射

\mathrm {d} \varphi _{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\ ,

映射 $\operatorname {d} \!\phi _{x}$ 運用到切向量 $X$ 上有時稱為 $X$ 由 $\phi$ 的前推。前推的確切定義取決於我們怎樣定義切向量（不同的定義可參見切空間）。

如果我們定義切向量為通過 $x$ 的曲線等價類，那麼微分由

\mathrm {d} \varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0)

給出，這裏 $\gamma$ 是 $M$ 上滿足 $\gamma (0)=x$ 的一條曲線。換句話說，一條曲線 $\gamma$ 在 0 處切向量的前推恰好是 $\phi \circ \gamma$ 在 0 處的切向量。

另一種方式，如果切向量定義為作用在光滑實值函數上的導子，那麼微分由

\mathrm {d} \varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi )

給出，這裏 $X\in T_{x}M$ ，從而 $X$ 是定義在 $M$ 上的一個導子而 $f$ 是 $N$ 上一個光滑實值函數。根據定義，在給定 $M$ 上 $x$ 處 $X$ 的前推在 $T_{\phi (x)}N$ 中，從而定義了一個 $N$ 上的導子。

取定 $x$ 與 $\phi (x)$ 附近的坐標卡以後， $F$ 局部由 $\mathbb {R} ^{m}$ 與 $\mathbb {R} ^{n}$ 之間的光滑映射

{\hat {\varphi }}:U\rightarrow V

確定。而 $\operatorname {d} \!\phi _{x}$ 具有表示（在 $x$ 附近）：

\mathrm {d} \varphi _{x}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial u^{a}}}{\Bigr )}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},

這裏使用了愛因斯坦求和約定，偏導數對 $x$ 坐標卡相應的 $U$ 中的點取值。

線性擴張得到如下矩陣

(\mathrm {d} \varphi _{x})_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.

從而光滑映射 $\phi$ 在每一點的微分是切空間之間的一個線性變換。從而在某些選定的局部坐標下，它表示為相應的從 $\mathbb {R} ^{m}$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 光滑映射的雅可比矩陣。一般情形，微分不要求可逆。如果 $\phi$ 是一個局部微分同胚，那麼在 $x$ 點的前推是可逆的，其逆給出 $T_{\phi (x)}N$ 的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空間之間的線性同構。

微分經常有其他一些記法，比如

D\varphi _{x},\;(\varphi _{*})_{x},\;\varphi '(x)\ .

從定義可得出複合函數的微分便是微分的複合（即，具有函子性質），這便是光滑函數微分的鏈式法則。

切叢上的微分

光滑映射 $\phi$ 的微分以顯而易見的方式誘導了從 $M$ 的切叢到 $N$ 的切叢的一個叢映射（事實上是向量叢同態），記為 $\operatorname {d} \!\phi$ 或 $\phi *$ ，滿足如下的交換圖表：

這裏 $\pi _{M}$ 與 $\pi _{N}$ 分別表示 $M$ 與 $N$ 切叢的叢投影。

等價地（參見叢映射）， $\phi *=\operatorname {d} \!\phi$ 是從 $TM$ 到 $M$ 上的拉回叢 $\phi ^{*}TN$ 的叢映射，這可以看成 $M$ 上向量叢 $\hom(TM,\phi ^{*}TN)$ 的一個截面。

向量場的前推

給定了一個光滑映射 $\phi :M\rightarrow N$ 與 $M$ 上一個向量場 $X$ ，一般不能定義 $X$ 通過 $\phi$ 的前推為 $N$ 的一個向量場。譬如，如果映射 $\phi$ 不是滿射，則在 $\phi$ 的像外部沒有自然的方式定義拉回；如果 $\phi$ 不是單射也有可能在給定一點拉回不止一種選擇。無論如何，可以用「沿着映射的向量場」概念將難處變精確。

$M$ 上 $\phi ^{*}TN$ 的一個截面稱為沿着 $\phi$ 的向量場。例如，如果 $M$ 是 $N$ 的一個子叢而 $\phi$ 是包含映射，那麼沿着 $\phi$ 的向量場恰好是 $N$ 沿着 $M$ 的切叢的一個截面；特別的， $M$ 上的向量通過 $TM$ 包含到 $TN$ 中定義這樣一個截面。這種想法推廣到任何光滑映射。

假設 $X$ 是 $M$ 上一個向量場，即 $TM$ 的一個截面。那麼，運用逐點微分得出 $X$ 的前推 $\phi ^{*}X$ ，這是一個沿着 $\phi$ 的向量場，即 $M$ 上 $\phi ^{*}TN$ 的一個截面。

任何 $N$ 上的向量場 $Y$ 定義了 $\phi ^{*}TN$ 的一個拉回截面 $\phi ^{*}Y$ 使得 $(\phi ^{*}Y)_{X}=Y_{\phi (x)}$ 。 $M$ 上一個向量場 $X$ 與 $N$ 上一個向量場 $Y$ 稱為 $\phi$ -相關的，如果作為沿着 $\phi$ 的向量場有 $\phi *X=\phi ^{*}Y$ 。換句話說，對任何 $x$ 屬於 $M$ ，有 $\operatorname {d} \!\phi _{x}(X)=Y_{\phi (x)}$ 。

在某些情形，給定 $M$ 上一個向量場 $X$ ， $N$ 上只有惟一的向量場 $Y$ 與 $X\phi$ -相關。特別地，這在 $\phi$ 是微分同胚時自然成立。在這種情況下，前推定義了 $N$ 上一個向量場 $Y$ ，由

Y_{x}=\varphi _{*}(X_{\varphi ^{-1}(x)}).

給出。一個更一般的情形是 $\phi$ 為滿射（比如纖維叢的叢投影）。這時 $M$ 上的向量場 $X$ 稱為可投影的，如果對任何 $y$ 屬於 $N$ , $\operatorname {d} \!\phi _{x}(X_{x})$ 與 $x$ 屬於 $\phi ^{-1}(\{y\})$ 的取法無關。這恰好是保證 $X$ 的前推可以作為 $N$ 上的一個良定的向量場的條件。

參閲

拉回

參考文獻

John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.