模版 (数值分析)
在数学的偏微分方程数值方法里，模版（stencil）是有关几何安排的资讯，会用在一个点周围点上的资讯来求得所关注点的资讯。模版是许多求解偏微分方程（PDE）数值方法算法的基础。五点模版和克兰克-尼科尔森方法模版就是模版的例子。
模版可分为两类：紧致模版和非紧致模版，两者的差异在只利用关注点邻近的点，或是会用到更远处的点。
在一维模版中，会用n-1、n和n+1表示时间的步阶，其中n和n-1是数值已知的，而有限体积空间上的分布会表示为j-1、j和j+1。
名称
[编辑]在偏微分方程研究的早期，就已有用图示表示所使用节点和系数的作法，当时的名称有relaxation patterns、operating instructions、lozenges或point patterns等[1][2]。后来将此名称取名为"模版"（stencil），是将模板喷画中模板的概念用在数值方法求解时，用图示表示在特定一步需要其他哪些点的资讯[2]。
系数计算
[编辑]偏微分方程数值方法中，确定方法和模版后，其有限差分系数就固定了，此系数可用拉格朗日多项式在这些点之间内插，再微分求得[3]，作法是计算附近每个点的泰勒级数，再求解方程式[4]，或是强制该模式就符合最多到模版阶数的单项式[3]。
相关条目
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ Emmons, Howard W. The numerical solution of partial differential equations (PDF). Quarterly of Applied Mathematics. 1 October 1944, 2 (3): 173–195 [17 April 2017]. doi:10.1090/qam/10680
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- ^ 2.0 2.1 Milne, William Edmund. Numerical solution of differential equations. 1st. Wiley. 1953: 128–131. OCLC 527661 （English）.
- ^ 3.0 3.1 Fornberg, Bengt; Flyer, Natasha. Brief Summary of Finite Difference Methods. A Primer on Radial Basis Functions with Applications to the Geosciences. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2015 [9 April 2017]. ISBN 9781611974027. doi:10.1137/1.9781611974041.ch1.
- ^ Taylor, Cameron. Finite Difference Coefficients Calculator. web.media.mit.edu. [9 April 2017] （英语）.
- W. F. Spotz. High-Order Compact Finite Difference Schemes for Computational Mechanics. PhD thesis, University of Texas at Austin, Austin, TX, 1995.
- Communications in Numerical Methods in Engineering, Copyright © 2008 John Wiley & Sons, Ltd.