卡塔蘭常數

卡塔蘭常數

識別
符號	$G$
位數數列編號	A006752
性質
定義	$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}$
表示方式
值	0.915965594
二進制	0.111010100111110010111000…
八進制	0.724762704764023272042441…
十進制	0.915965594177219015054603…
十六進制	0.EA7CB89F409AE845215822E3…

卡塔蘭常數 G，是一個偶爾出現在組合數學中的常數，定義為：

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots$

其中β是狄利克雷β函數。它的值大約為：

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前還不知道G是有理數還是無理數。

積分恆等式

一些恆等式包括：

$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}{\rm {d}}t$

$G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y$

$G=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}{\rm {d}}t$

還有

$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,{\rm {d}}x$

其中$K(x)\,$是第一類完全橢圓積分，

$G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}{\rm {d}}x$

應用

G出現在組合數學中，也出現在第二多伽瑪函數（也稱為三伽瑪函數）的值中。

$\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G$

$\psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G$

Simon Plouffe給出了無窮多個含有三伽瑪函數、$\pi ^{2}$和卡塔蘭常數的恆等式。

快速收斂級數

以下兩個級數收斂得很快，可以用於計算卡塔蘭常數的值：

$G=\,$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-$
	$2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)$

以及

$G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.$

已知的位數

已知的位數

日期	位數	計算者
2009年4月16日	31,026,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009年1月31日	15,510,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2008年8月	10,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2006年10月	5,000,000,000	Shigeru Kondo
2002年	201,000,000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年	100,000,500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日	12,500,000	Xavier Gourdon
1997年	3,379,957	Patrick Demichel
1996年	1,500,000	Thomas Papanikolaou
1996年9月29日	300,000	Thomas Papanikolaou
1996年8月14日	100,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年	50,000	Greg J. Fee
1990年	20,000	Greg J. Fee
1913年	32	James W. L. Glaisher
1877年	20	James W. L. Glaisher

參考文獻

• Victor Adamchik, 卡塔蘭常數的33種表示法（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Simon Plouffe, 一些與卡塔蘭常數有關的恆等式（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, (1993) （有超過一百個不同的恆等式）
• 埃里克·韋斯坦因. Catalan's Constant. MathWorld.