拉回 (微分幾何)

在微分幾何中，拉回是將一個流形上某種結構轉移到另一個流形上的一種方法。具體地說，假設 $\phi :M\rightarrow N$ 是從光滑流形 $M$ 到 $N$ 的光滑映射；那麼伴隨有一個從 $N$ 上 1- 形式（餘切叢的截面）到 $M$ 上 1-形式的線性映射，這個映射稱為由 $\phi$ 拉回，經常記作 $\phi ^{*}$ 。更一般地，任何 $N$ 上共變張量場——特別是任何微分形式——都可以由 $\phi$ 拉回到 $M$ 上。

當映射 $\phi$ 是微分同胚，那麼拉回與前推一起，可以將任何 $N$ 上的張量場變換到 $M$ ，或者相反。特別地，如果 $\phi$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的開集與 $\mathbb {R} ^{n}$ 之間的微分同胚，視為坐標變換（也許在流形 M 上不同的坐標卡上），那麼拉回和前推描述了共變與反變張量用更傳統方式（用基）表述的變換性質。

拉回概念背後的本質很簡單，是一個函數和另外一個函數的前複合。但是將這種想法運用到許多不同的情形，可以構造許多複雜的拉回。本文從簡單的操作開始，然後利用它們構造更複雜的。粗略地講，拉回手法（利用前複合）將微分幾何中多種不同的結構變成反變函子。

光滑函數與光滑映射

設 $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑流形 $M$ 與 $N$ 之間的光滑映射，假設 $f:N\rightarrow \mathbb {R}$ 是 $N$ 上一個光滑函數。則 $f$ 通過 $\phi$ 的拉回是 $M$ 上的光滑函數 $\phi ^{*}f$ ，定義為 $(\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))$ 。類似地，如果 $f$ 是 $N$ 中開集 $U$ 上的光滑函數，則相同的公式定義了 $M$ 中開集 $\phi ^{-1}(U)$ 上一個光滑函數。用層的語言說，拉回定義了 $N$ 上光滑函數層到 $\phi$ 的直接像（在 $M$ 上光滑函數層中）的一個態射。

更一般地，如果 $f:N\rightarrow A$ 是從 $N$ 到任意其他流形 $A$ 的光滑映射，則 $\phi ^{*}f(x)=f(\phi (x))$ 是從 $M$ 到 $A$ 的一個光滑映射。

叢與截面

如果 $E$ 是 $N$ 上一個向量叢（或任意纖維叢）， $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑映射，那麼拉回叢 $\phi ^{*}E$ 是 $M$ 上一個向量叢（或更一般地纖維叢），其 $M$ 中的點 $x$ 處的纖維由 $(\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}$ 給出。

在此情形，前複合定義了 $E$ 上截面的一個變換：如果 $s$ 是 $N$ 上 $E$ 的一個截面，那麼拉回截面 $\varphi ^{*}s=s\circ \varphi$ 是 $M$ 上拉回叢 $\phi ^{*}E$ 的一個截面。

多重線性形式

設 $\Phi :V\rightarrow W$ 是向量空間 $V$ 與 $W$ 之間的一個線性映射（即， $\Phi$ 是 $L(V,W)$ 中的元素，也記成 $\hom(V,W)$ ），設

F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbb {R}

是 $W$ 上一個多重線性形式（也稱為 $(0,s)$ 階張量——但不要和張量場混淆——這裡 $s$ 是乘積中 $W$ 的因子的個數）。則 $F$ 由 $\Phi$ 的拉回 $\Phi ^{*}F$ 是一個 $V$ 上的多重線性形式，定義為 $F$ 與 $\Phi$ 的前複合。準確地，給定 $V$ 中向量 $v_{1},v_{2},\cdots ,v_{s}$ ， $\Phi ^{*}F$ 由公式定義

(\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),

這是 $V$ 上一個多重線性形式。從而 $\Phi ^{*}$ 是一個從 $W$ 上的多重線性形式到 $V$ 上的多重線性形式的（線性）算子。作為一個特例，注意到如果 $F$ 是 $W$ 上一個線性形式（或 $(0,1)$ -張量），那麼 $F$ 是 $W$ 的對偶空間 $W^{*}$ 中一個元素，則 $\Phi ^{*}F$ 是 $V^{*}$ 中一個元素，所以拉回定義了對偶空間之間一個線性映射，作用的方向與線性映射 $\Phi$ 自己的方向相反：

\Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.

從張量的觀點來看，自然想把來回這種概念推廣到任何階，即 $W$ 上取值於 $r$ 個 $W$ 的張量積 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的線性映射。但是，這種張量積不能自然的拉回：不過有從 $V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$ 到 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的前推算子，定義為

\Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).

然而，如果 $\Phi$ 可逆，拉回可以用逆函數 $\Phi ^{-1}$ 的前推定義。將一個可逆線性映射與這兩個構造放在一起，得到了對任何 $(r,s)$ 階張量一個拉回算子。

餘切向量與 1 形式

設 $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑流形間的光滑映射。那麼 $\phi$ 的前推： $\phi *=\operatorname {d} \!\phi$ （或 $D\phi$ ），是從 $M$ 的切叢 $TM$ 到拉回叢 $\phi ^{*}TN$ 的（在 $M$ 上）向量叢同態。從而 $\phi *$ 的轉置是從 $\phi ^{*}T^{*}N$ 到 $M$ 的餘切叢 $T^{*}M$ 的叢映射。

現在假設 $\alpha$ 是 $T^{*}N$ 的一個截面（ $N$ 上一個 1-形式），將 $\alpha$ 與 $\phi$ 前複合得到 $\phi ^{*}T^{*}N$ 的一個拉回截面。將上述（逐點）叢映射應用到截面導致 $\alpha$ 由 $\phi$ 的拉回，是 $M$ 上一個 1-形式，定義為：

(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X))

對 $x$ 屬於 $M$ 與 $X$ 屬於 $T_{x}M$ 。

（共變）張量場

對任何自然數 $s$ ，上述構造馬上可推廣到 $(0,s)$ 階張量叢上。流形 $N$ 上 $(0,s)$ 張量場是 $N$ 上張量叢的一個截面，在 $N$ 中 $y$ 點的截面是多重線性 $s$ -形式空間

F\colon T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .

取 $\Phi$ 等於從 $M$ 到 $N$ 的一個光滑映射的微分（逐點的），多重線性形式的拉回可與截面的拉回複合得出 $M$ 上 $(0,s)$ 張量場的拉回。更確切地，如果 $S$ 是 $N$ 上一個 $(0,s)$ -張量場，那麼 $S$ 由 $\phi$ 的拉回是 $M$ 上 $(0,s)$ -張量場 $\phi ^{*}S$ ，定義為

(\varphi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{s}))\ ,

對 $x$ 屬於 $M$ 與 $X_{j}$ 屬於 $T_{x}M$ 。

微分形式

共變張量場拉回的一個特別重要的例子是微分形式的拉回。如果 $\alpha$ 是一個微分 $k$ -形式，即 $TN$ （逐點）反交換 $k$ -形式組成的外叢 $\Lambda ^{k}T^{*}N$ 的一個截面，則 $\alpha$ 的拉回是 $M$ 上一個微分 $k$ -形式，定義與上一節相同：

(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{k}))\ ,

對 $x$ 屬於 $M$ 與 $X_{j}$ 屬於 $T_{x}M$ 。

微分形式的拉回有兩個性質，使其非常有用。

1. 和楔積相容：假設同上，對 $N$ 上的微分形式 $\alpha$ 與 $\beta$ ，

\varphi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\varphi ^{*}\alpha \wedge \varphi ^{*}\beta \ .

2. 和外導數 $\operatorname {d} \!$ 相容：如果 $\alpha$ 是 $N$ 上一個微分形式，則

\varphi ^{*}(\mathrm {d} \alpha )=\mathrm {d} (\varphi ^{*}\alpha )\ .

由微分同胚拉回

當流形之間的映射 $\phi$ 是微分同胚，即有一個光滑逆函數，則在向量場上也像 1-形式一樣定義拉回，從而通過擴張，對流形上任何混合張量場都可拉回。線性映射

\Phi =\mathrm {d} \varphi _{x}\in GL(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)

可逆，給出

\Phi ^{-1}={\mathrm {d} \varphi _{x}}^{-1}\in GL(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).

一個一般的混合型張量場通過張量積分解為 $TN$ 與 $T^{*}N$ 兩部分，分別用 $\Phi$ 與 $\Phi ^{-1}$ 變換。當 $M=N$ 時，則拉回和前推刻畫了流形 $M$ 上張量場的變換性質。用傳統術語說，拉回描述了張量共變指標的變換性質；相對地，反變指標的變換性質由前推給出。

由自同構拉回

上一節的構造有一個代表性特例，若 $\phi$ 是流形 $M$ 到自己的微分同胚。在這種情況下，導數 $\operatorname {d} \!\phi$ 是 $GL(TM,\phi ^{*}TM)$ 的一個截面。這樣便在通過一個一般線性群 $GL(m)(m=\dim M)$ 相配於 $M$ 的標架叢 $GL(M)$ 的任何叢的截面上導出了拉回作用。

拉回與李導數

將上述想法應用到由向量場 $M$ 定義的微分同胚單參數群，對參數求導，得到了任意叢上的李導數概念。

聯絡（共變導數）

如果 $\nabla$ 是 $N$ 上向量叢 $E$ 的聯絡（或共變導數）， $\phi$ 是從 $M$ 到 $N$ 的光滑映射，那麼在 $M$ 上的向量叢 $\phi ^{*}E$ 上有拉回聯絡 $\varphi ^{*}\nabla$ ，由等式

(\varphi ^{*}\nabla )_{X}(\varphi ^{*}s)=\varphi ^{*}(\nabla _{\mathrm {d} \varphi (X)}s)

惟一確定。

另見

參考文獻

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.