換位子群

在數學尤其是抽象代數中，群的換位子群或導群，另名交換子群，意指該群所有換位子所生成的子群，記作 $[G,G]$ 、 $G'$ 或 $G^{(1)}$ 。任意給定群均對應一個確定的換位子群。作為群 $G$ 的正規子群，換位子群 $G'$ 是使得 $G$ 對它的商群 $G/G'$ 交換的最小正規子群。換言之，換位子群表徵群 $G$ 的可交換程度，根據換位子的定義 $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ , $x$ 與 $y$ 交換，即 $xy=yx$ , 若且唯若 $[x,y]=e$ , 即，群內可交換的元素越多，換位子就越少，換位子群也就越小。顯然，交換群的換位子群為平凡群 $\{e\}$ .

換位子

對群元 $g,\,h\in G$ , $g$ 與 $h$ 的換位子為 $[g,\,h]=g^{-1}h^{-1}$ . 換位子 $[g,\,h]$ 等價於群么 $e$ 若且唯若 $gh=hg$ , 即二者交換。一般情況下，顯然有 $gh=hg[g,\,h]$ .

該記號的順序任定，有下述不同的定義方式，此時換位子將左乘，而非右乘二者的積：

[g,\,h]=ghg^{-1}h^{-1}

,

此時有 $gh=[g,\,h]hg$ 而非 $gh=hg[g,\,h]$ .

對 $g$ 和 $h$ 來說，群 $G$ 中形如 $[g,\,h]$ 的元即稱其換位子。么 $e=[e,\,e]$ 恆為換位子。群 $G$ 交換若且唯若其換位子群平凡，即 $G'=\{e\}$ .

下例對群 $G$ 元 $s,\,g,\,h$ 成立：

$[g,\,h]^{-1}=[h,\,g]$ ;
$[g,\,h]^{s}=[g^{s},\,h^{s}]$ ，其中 $g^{s}:=s^{-1}gs$ 意指 $g$ 關於 $s$ 的共軛；
由群同態保持：
${\begin{aligned}f\colon \,&G\to H,\\&[g,\,h]\mapsto [f(g),\,f(h)].\end{aligned}}$

前兩者蘊含 $G$ 的換位子集對交換與共軛封閉。對第三條取 $H=G$ , 即知換位子集穩定於 $G$ 的任意自同態，這正是第二條的一般情況，只需取 $f$ 作 $G$ 的共軛自同構：

{\begin{aligned}f\colon \,&G\to G\\&x\mapsto x^{s}:=s^{-1}xs,\end{aligned}}

即得第二條。

換位子的積未必是換位子。典例是由 $a,\,b,\,c,\,d$ 生成的自由群內的 $[a,\,b][c,\,d]$ . 已知存在兩換位子其積非換位子的最小有限群，階數為 96，在同構意義上有兩種如此的 96 階群。^[1]

定義

給定群 $G$ ，其換位子群 $[G,G]$ （或稱導群，記 $G'$ 或 $G^{(1)}$ ）是 $G$ 的所有換位子所生成的子群：

[G,G]=\{g^{-1}h^{-1}gh\,\colon \,g,h\in G\}.

由定義知，任意 $[G,\,G]$ 的元有形式

\prod _{i=1}^{n}[g_{i},\,h_{i}]=[g_{1},\,h_{1}]\cdots [g_{n},\,h_{n}],\,n\in \mathbb {N} _{+},\,\forall i,\,g_{i},\,h_{i}\in G.

此外由

\left(\prod _{i}[g_{i},\,h_{i}]\right)^{s}=\prod _{i}[g_{i}^{s},\,h_{i}^{s}]

知換位子群亦對 $G$ 正規。對任意同態 $f\colon \,G\to H$ ，

f\colon \,\prod _{i}[a_{i},\,b_{i}]\mapsto \prod _{i}[f(a_{i}),\,f(b_{i})]=[f(a_{1}),\,f(b_{1})]\cdots [f(a_{n}),\,f(b_{n})],

故而 $f([G,\,G])\subseteq [H,\,H].$

這表明換位子群可視作群範疇 ${\mathsf {Grp}}$ 的函子，其部分含義將於下文探討。此外倘取 $G=H$ , 知換位子群於 $G$ 的任意自同態下穩定：換言之， $[G,\,G]$ 為 $G$ 的全特徵子群（英語），這一性質遠強於正規性。

換位子群亦定義作 $G$ 的子集

\left\{\left.\prod _{i\in I}g_{i}\right|\,\exists \varphi \colon I\leftrightarrow I,\,\prod _{i\in I}g_{\varphi (i)}=e_{G},\,\forall i,\,g_{i}\in G,\,I\subset \mathbb {N} \right\},

即那些存在某種重排使得結果為么的群元乘積構成的集合。

導來集序列

導來集能夠迭代構造：

G^{(0)}:=G

G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},\,G^{(n-1)}\right],\quad n\in \mathbb {N} .

群 $G^{(i)},i=2,\,3,\,\dots$ 依次稱 $n$ 階導群。下降正規序列

\cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G

即稱導出序列。

對有限群而言，導出序列終止於完滿群，其平凡與否皆有可能。而對於無限群，其導出序列不必終止於有限步，而可能以超限遞迴至持續無窮序數步，繼而得到超限導出序列，其最終終止於群的完美核。

Abel 化

給定群 $G$ , 商群 $G/N$ 交換若且唯若 $[G,\,G]\subset N$ .

商群 $G/[G,\,G]$ 交換，稱 $G$ 的 Abel 化，常記作 $G^{\mathrm {ab} }$ 或 $G_{\mathrm {ab} }$ .

有範疇方向的實用詮釋，映射 $\varphi \colon \,G\to G^{\mathrm {ab} }$ . 換言之， $\varphi$ 泛於任意從 $G$ 到 Abel 群 $H$ 的同態，或稱任意從 $G$ 到 Abel 群 $G$ 的同態均可經由 $\varphi$ 唯一分解：對任意 Abel 群 $H$ 與群同態 $f\colon \,G\to H$ , 存在唯一同態 $F\colon \,G^{\rm {ab}}\to H$ 使得 $f=F\circ \varphi$ . 正如由泛映射定義的物件通常所具的特點般，這表徵 Abel 化子群 $G^{\rm {ab}}$ 在典範同構意義下的唯一性，而顯示構造的 $G\to G/[G,\,G]$ 表徵其存在性。

Abel 化函子是從 Abel 群範疇 ${\mathsf {AbGrp}}$ 到群範疇 ${\mathsf {Grp}}$ 的包含函子的左伴隨。Abel 化函子 ${\mathsf {AbGrp}}\to {\mathsf {Grp}}$ 的存在性令範疇 ${\mathsf {AbGrp}}$ 擁有群範疇的反射子範疇，定義為其包含函子擁有左伴隨的全子範疇。

$G^{\rm {ab}}$ 另有一重要釋義 $H_{1}(G,\,\mathbb {Z} )$ , 群 $G$ 的整係數一階同調群。

完滿群

若群 $G$ 的導群等於自身，即 $G^{(1)}=G$ , 稱該群完滿群，包含非交換單純群及不動域 $\mathbb {k}$ 上的特殊線性群 $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {k} )$ .

例子

任意 Abel 群的換位子群均平凡。
域或除環 $\mathbb {k}$ 上的一般線性群 $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {k} )$ 的換位子群等於特殊線性群 $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {k} )$ , 若 $n\neq 2$ , 或 $\mathbb {k}$ 不是擁有兩個元素的域。
4 次交錯群 $A_{4}$ 的換位子群即 Klein 四元群 $V_{4}$ 。
$n$ 次對稱群 $S_{n}$ 的換位子群即 $n$ 次交錯群 $A_{n}$ 。
四元群 $Q=\{1,\,-1,\,{\rm {i}},\,{\rm {-i}},\,{\rm {j}},\,{\rm {-j}},\,{\rm {k}},\,{\rm {-k}}\}$ 的換位子群為 $\{1,\,-1\}$ 。