極值定理

閉區間$[a,b]$上的連續函數$f(x)$，其最大值為紅色點，最小值為藍色點。

在微積分中，極值定理（或最值定理）說明如果實函數$f$在閉區間$[a,b]$上是連續函數，則它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是說，存在$[a,b]$內的$c$和$d$，使得：

$f(c)\geq f(x)\geq f(d)$對於所有$x\in [a,b]$。

一個相關的定理是有界性定理，它說明閉區間$[a,b]$內的連續函數$f$在該區間上有界。也就是說，存在實數$m$和$M$，使得：

$m\leq f(x)\leq M$對於所有$x\in [a,b]$。

極值定理強化了有界性定理，它表明函數不僅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

定理的證明

我們來證明$f$的上界和存在最大值。把這個結果應用於函數$-f$，也可推出$f$的下界和存在最小值。

我們首先證明有界性定理，它是證明極值定理中的一個步驟。

有界性定理的證明

假設函數$f$在區間$[a,b]$內連續且沒有上界，那麼對於每一個自然數$n$，都存在$[a,b]$內的一個$x_{n}$，使得$f(x_{n})>n$（任定的，總之條件為真即可）。這便定義了一個序列$\{x_{n}\}$。

由於$[a,b]$是有界的，根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可推出存在$\{x_{n}\}$的一個收斂的子序列$\{x_{n_{k}}\}$。把它的極限記為$x$。由於$[a,b]$是閉區間，它一定含有$x$。因為$f$在$x$處連續，我們知道$\{f(x_{n_{k}})\}$收斂於實數$f(x)$。

但對於所有的$k$，都有$f(x_{n_{k}})>n_{k}\geq k$，這意味著$\{f(x_{n_{k}})\}$發散於無窮大。

前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，$f$在$[a,b]$內有上界。同理$f$在$[a,b]$內有下界。證畢。

極值定理的證明1

基本步驟為：

1. 尋找一個序列，它的像收斂於$f$的最小上界。
2. 證明存在一個子序列，它收斂於定義域內的一個點。
3. 用連續性來證明子序列的像收斂於最小上界。

我們現在證明函數$f$在區間$[a,b]$內有最大值。根據有界性定理，$f$有上界，因此，根據實數的戴德金完備性，$f$的最小上界$M$存在。我們需要尋找$[a,b]$內的一個$d$，使得$M=f(d)$。設$n$為一個自然數。由於$M$是最小上界，$M-{\frac {1}{n}}$就不是$f$的上界。因此，存在$[a,b]$內的$d_{n}$，使得$M-{\frac {1}{n}}<f(d_{n})$。這便定義了一個序列$\{d_{n}\}$。由於$M$是$f$的一個上界，即便是對於所有的$n$，我們仍有$M-{\frac {1}{n}}<f(d_{n})\leq M$。因此，序列$\{f(d_{n})\}$收斂於M。

根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可知存在一個子序列$\{d_{n_{k}}\}$，它收斂於某個$d$，且由於$[a,b]$是閉區間，$d\in [a,b]$。因為$f$在$d$處連續，所以序列$\{f(d_{n_{k}})\}$收斂於$f(d)$。但$\{f(d_{n_{k}})\}$是$\{f(d_{n})\}$的一個子序列，收斂於$M$，因此$M=f(d)$。所以，$f$在$d$處取得最小上界$M$。證畢。

極值定理的證明2

設$M$是$f$在區間$[a,b]$上的最小上界，我們要證明存在$d\in [a,b]$使得$f(d)=M$。我們使用反證法：如若不然，對任意 $x\in [a,b]$，$f(x)\neq M$，所以，對任意的$x\in [a,b]$，$f(x)<M$。我們考慮正值的函數

$g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}.$

因為分母不是零，這個函數是良定義的，並且是連續的。然而，由於$M$是$f(x)$的最小上界，所以存在 $x\in [a,b]$，使得$f(x)$可以無限地接近$M$，從而$g(x)$是無界的。這和有界性定理矛盾。證畢。

注: 上面構造函數$g(x)$來證明最大值能在某個$d$取到的方法也在代數基本定理的基於Liouville定理的證明中出現。

例子

以下的例子說明了為什麼函數的定義域需要是閉的和有界的。

1. 定義在$[0,\infty )$的函數$f(x)=x$沒有上界。
2. 定義在$[0,\infty )$的函數$f(x)={\frac {x}{1+x}}$有界，但不取得最小上界1。
3. 定義在$(0,1]$的函數$f(x)={\frac {1}{x}}$沒有上界。
4. 定義在$(0,1]$的函數$f(x)=1-x$有界，但不取得最小上界1。

推廣到半連續函數

如果把$f$的連續性減弱為半連續，則有界性定理和極值定理的對應的一半仍然成立，且擴展的實數軸上的值$-\infty$和$+\infty$也可以允許為可能的值。更加精確地：

定理：如果函數$f:[a,b]\rightarrow [-\infty ,\infty )$是上半連續的，也就是說，對於$[a,b]$內的所有$x$，都有：

$\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)$，

那麼$f$有上界，且取得最小上界。

證明：如果對於$[a,b]$內的所有$x$，都有$f(x)=-\infty$，那麼最小上界也是$-\infty$，於是定理成立。在任何其它情況下，只需把上面的證明稍加修改便可。在有界性定理的證明中，$f$在$x$處的半連續性只意味著子序列$\{f(x_{n_{k}})\}$的上極限有上界$f(x)<\infty$，但這已足以得到矛盾。在極值定理的證明中，$f$在$d$處的半連續性意味著子序列$\{f(d_{n_{k}})\}$的上極限有上界$f(d)$，但這已足以推出$f(d)=M$的結論。證畢。

把這個結果應用於$-f$，可得：

定理：如果函數$f:[a,b]\rightarrow (-\infty ,\infty ]$是下半連續的，也就是說，對於$[a,b]$內的所有$x$，都有：

$\liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)$

那麼$f$有下界，且取得最大下界。

一個實函數是上半連續且下半連續的，若且唯若它是連續的。因此，從這兩個定理就可以推出有界性定理和極值定理。

參考文獻

• Parzynski, William R. Introduction to Mathematical Analysis. McGraw-Hill, Inc. 1982: 102-104. 
• Michael Spivak. Calculus. Cambridge University Press. 2006. 

外部連結

• cut-the-knot上極值定理的證明 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Boundedness Theorem. PlanetMath. 
• Extreme Value Theorem. PlanetMath. 
• 埃里克·韋斯坦因. 极值定理. MathWorld.