綜合幾何學
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綜合幾何學（有時亦稱為公理幾何或純幾何）是指不藉助坐標體系進行研究的幾何學。它以公理化方法為基礎，從少數基本性質出發（早期稱為假設，現稱為公理），通過邏輯推演來證明一切幾何結論。
17世紀，勒內·笛卡爾引入了坐標方法，即所謂的解析幾何。自此，「綜合幾何」（synthetic geometry）一詞被創造出來，用以指代笛卡爾之前沿用的幾何研究方法——當時，人們所知的幾何學皆屬此類。
「綜合幾何研究形狀本身的性質，而不訴諸任何公式；而解析幾何則依賴於公式的表達，這些公式可在採用適當坐標系後寫出。」
綜合幾何最早的系統化論著是歐幾里得的《幾何原本》。然而，到了19世紀末，人們發現歐幾里得的公理體系並不足以完整刻畫幾何學。直到19世紀末，大衛·希爾伯特才提出了第一個完備的幾何公理體系。與此同時，人們也認識到，綜合方法與解析方法皆可用於建立幾何理論。兩者在本質上的等價性後來由埃米爾·阿廷在其著作《幾何代數》中予以嚴格證明。
正因為這種等價關係，綜合幾何與解析幾何之間的區分在現代數學中已不再使用，除非是在初等教學階段，或是在研究某些與數系無關的幾何體系時，例如有限幾何與非德薩格幾何（Non-Desarguesian plane）。
參見
[編輯]註腳
[編輯]- ^ Klein 1948，p. 55
參考文獻
[編輯]- Greenberg, Marvin Jay, Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, 1974, ISBN 0-7167-0454-4
- Klein, Felix, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint/Geometry, New York: Dover, 1948
- Mlodinow, Leonard, Euclid's Window/The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace
, New York: The Free Press, 2001, ISBN 0-684-86523-8
