自由邊界問題

在數學中，自由邊界問題是一種偏微分方程，其求解目標不僅包括一個末知函數$u$，還涉及一個末知區域$\Omega$。區域$\Omega$的邊界上，那段在問題之初並未確定的部分$\Gamma$，即被稱為自由邊界。

自由邊界問題出現在各種數學模型中，其應用範圍極為廣泛，涵蓋了從物理學到經濟學、金融學和生物學等領域的現象，這些現象的共同特點是介質中存在額外的效應。這種效應通常表現為介質的定性變化，從而導致相變的發生，例如：冰融化成水、液體凝固成晶體、資產的買入到賣出（金融）、生物體的活躍到非活躍狀態、著色遊戲中的藍色到紅色，以及自組織臨界性中的無序到有序狀態。此種臨界性的一個有趣的方面是所謂的「沙堆動力學」（或稱內部擴散限制聚集）。

最經典的例子是冰的融化：給定一塊冰，可以通過求解熱方程並給定適當的初始條件和邊界條件來確定其溫度。如果在某一區域內溫度超過冰的熔點，則該區域將被液態水占據。由冰/液體界面構成的邊界，就是由偏微分方程的解動態控制的自由邊界。

自由邊界問題在不同背景下出現的另一個著名例子是美式期權估值。與歐式期權不同，美式期權的行權時間是不固定的，因此有效的執行價格將表現為一個自由邊界，必須作為估值過程的一部分進行求解。