質心運動定律

質心運動定理是動力學的基本定理之一。它指出，質點系統的質心運動等價於位於質心處的單個質點的運動。該質點的質量等於系統的總質量，作用於該質點的合外力是作用於系統的所有外力的矢量和。質心的坐標由各質點質量的加權平均值決定，其運動僅由作用於系統的外力決定。該定理的數學表達式為：系統總質量與質心加速度的乘積等於作用於系統的外力的矢量和[1]。由此可知，當系統外力的矢量和為零時，質心保持勻速運動或靜止；當外力矢量和在某一軸上的投影為零時，質心沿該軸的運動狀態保持不變。該定理揭示了質點系統的整體平動運動規律與單個質點運動方程之間的一致性。一個大型木塊在光滑水平軌道上與多個小型木塊連續碰撞的運動分析是該定理的典型應用場景。

概述

定義：質心系統內每個質點的位置由動量定理確定。

質量中心是物質系統中質量集中的假想點，簡稱質心。用於表示質心的位置矢量， 表示質心坐標，它是質心系統質量分布的平均坐標，即按質量加權的平均坐標。

質心系統的質量與質心加速度的乘積始終等於作用於該質心系統的所有外力的矢量和；這被稱為質心運動定理。

剛體

定理的陳述

對於一個由 $n$個粒子組成的系統，每個粒子的質量為 $m_{i}$，位置矢量為 $\mathbf {r} _{i}$，系統質心的位置 $\mathbf {R}$ 定義為：

$\mathbf {R} ={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum _{i=1}^{n}m_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}}$

其中$M=\sum _{i=1}^{n}m_{i}$ 是系統的總質量。

質心運動定理：質心的加速度$\mathbf {A}$滿足：

$M\mathbf {A} =\mathbf {F} _{\text{ext}}$

其中$\mathbf {F} _{\text{ext}}$是系統所受的所有外力的矢量和。這相當於牛頓第二定律應用於質心：質心像一個質量為 $M$ 的點粒子，受淨外力$\mathbf {F} _{\text{ext}}$的作用。

如果沒有淨外力（$\mathbf {F} _{\text{ext}}=0$），則質心勻速直線運動或靜止（動量守恆）。

示例應用

火箭發射：火箭質心的運動取決於推力（外力），而燃料燃燒產生的內力不會影響質心的運動軌跡。

碰撞：在沒有外力作用的系統中（例如孤立系統），碰撞前後質心的速度保持不變（動量守恆）。

定理的推論

基於此定理，我們可以推導出：① 一個質點系統的內力不會影響其質心的運動；例如，跳水運動員從跳板跳下後，無論他在空中採取什麼動作或姿勢，由於外力（重力）沒有改變，跳水運動員的質心在入水前仍然沿拋物線軌跡運動；② 如果作用於一個質點系統的外力矢量和始終為零，則該質點系統的質心將做勻速直線運動或保持靜止；③ 如果作用於一個質點系統的外力矢量和在某一軸上的投影始終為零，則該質點系統的質心在該軸上的坐標將勻速變化或保持不變。

實質

可以看出，將真實物體抽象為質點並應用牛頓第二定律，只考慮了物體質心的運動，而忽略了各質點繞質心的運動以及質點之間的相對運動。這就是質點模型方法的本質。

換句話說，在質點動力學中，我們研究的「質點」實際上是物體的「質心」。

局限性

只給出了質心的加速度；沒有提供質點系的全面描述。

參考文獻

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