拟连续函数

在数学中，拟连续函数（Quasi-continuous function）的概念类似于但弱于连续函数的概念。所有连续函数都是拟连续的，但反过来一般不成立。

定义

设$X$为拓扑空间。实值函数$f:X\rightarrow \mathbb {R}$在点$x\in X$处称为拟连续的，若对于任意 $\epsilon >0$和任意包含$x$的开邻域$U$，存在非空开集$G\subset U$，使得

$|f(x)-f(y)|<\epsilon \;\;\;\;\forall y\in G$

注意在上述定义中，不要求$x\in G$。

特性

• 若$f:X\rightarrow \mathbb {R}$连续，则$f$为拟连续。
• 若$f:X\rightarrow \mathbb {R}$连续且$g:X\rightarrow \mathbb {R}$拟连续，则$f+g$为拟连续。

例子

考虑函数$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，当$x\leq 0$时令$f(x)=0$，当$x>0$时令 $f(x)=1$。显然 $f$在除$x=0$外处处连续，因此在除0外处处拟连续。在$x=0$，取任意以0为中心的开邻域$U$，存在开集 $G\subset U$使得对所有$y<0\;\forall y\in G$。于是对所有$|f(0)-f(y)|=0\;\forall y\in G$，因此$f$在0处亦为拟连续。故该$f$处处拟连续。

相反，定义$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$为：当$x$为有理数时$g(x)=0$，当$x$为無理數时$g(x)=1$。任一非空开集 $G$都包含某些点$y_{1},y_{2}$使得$|g(y_{1})-g(y_{2})|=1$，因此$g$在任何点都非拟连续。

参见

• 团函数