擬連續函數

在數學中，擬連續函數（Quasi-continuous function）的概念類似於但弱於連續函數的概念。所有連續函數都是擬連續的，但反過來一般不成立。

定義

設$X$為拓撲空間。實值函數$f:X\rightarrow \mathbb {R}$在點$x\in X$處稱為擬連續的，若對於任意 $\epsilon >0$和任意包含$x$的開鄰域$U$，存在非空開集$G\subset U$，使得

$|f(x)-f(y)|<\epsilon \;\;\;\;\forall y\in G$

注意在上述定義中，不要求$x\in G$。

特性

• 若$f:X\rightarrow \mathbb {R}$連續，則$f$為擬連續。
• 若$f:X\rightarrow \mathbb {R}$連續且$g:X\rightarrow \mathbb {R}$擬連續，則$f+g$為擬連續。

例子

考慮函數$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，當$x\leq 0$時令$f(x)=0$，當$x>0$時令 $f(x)=1$。顯然 $f$在除$x=0$外處處連續，因此在除0外處處擬連續。在$x=0$，取任意以0為中心的開鄰域$U$，存在開集 $G\subset U$使得對所有$y<0\;\forall y\in G$。於是對所有$|f(0)-f(y)|=0\;\forall y\in G$，因此$f$在0處亦為擬連續。故該$f$處處擬連續。

相反，定義$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$為：當$x$為有理數時$g(x)=0$，當$x$為無理數時$g(x)=1$。任一非空開集 $G$都包含某些點$y_{1},y_{2}$使得$|g(y_{1})-g(y_{2})|=1$，因此$g$在任何點都非擬連續。

參見

• 團函數