比例導引

一枚飛彈（紅色）通過對目標（藍色）保持 恆定方位角 （constant bearing） 來攔截它。 在整個飛行過程中， 視線 （lines of sight，灰色） 始終保持 平行 。

比例導引（Proportional navigation，簡稱PN或Pro-Nav）是一種導引律（類似於比例控制），大多數歸向空中目標的飛彈都以某種形式採用它。它的基礎是：當兩個物體處於碰撞航線時，它們的視線（LOS）在距離縮短時不會改變方向。比例導引要求飛彈的加速率（例如通過控制舵面轉向）與視線的旋轉率成比例，並朝相同方向。這樣會逐漸抵消視線的旋轉，使飛彈保持在碰撞航線上。

這種導引律的一個相當簡單的硬體實現在早期的AIM-9響尾蛇飛彈中可以找到。這些飛彈使用一個快速旋轉的拋物面反射鏡作為導引頭。簡單的電子設備檢測導引頭與目標（一個紅外源）的方向誤差，並對這個萬向架鏡施加一個力矩，使其保持指向目標。由於該反射鏡實際上是一個陀螺儀，如果不施加外部力或力矩，它將保持指向相同的方向，與飛彈的移動無關。然後，維持反射鏡鎖定目標所需的電壓也被用於（儘管經過放大）偏轉控制舵面來駕駛飛彈，從而使飛彈速度向量的旋轉與視線旋轉成比例。雖然這不會導致旋轉率總是恰好與視線率成比例（這需要恆定的空速），但這種實施是有效且易於實現的。

比例導引的基礎用於海上以避免船隻間的碰撞，這被稱為等方位角、減小距離（constant bearing, decreasing range）：如果從船上觀察到的物體正在靠近但保持方位角不變，除非採取行動，否則將發生碰撞。

描述

2D純比例導引：
如果視線正向右旋轉，飛彈應以與視線率 ${\textstyle {\dot {\lambda }}}$ 成比例的速率向其右側加速。

在2D平面交戰中，純比例導引可以表示為：

$a_{n}=N{\dot {\lambda }}V$

其中，純量 $a_{n}$ 是垂直於飛彈瞬時速度向量的加速度， $N$ 是比例常數（無量綱），通常取整數值3-5， ${\dot {\lambda }}$ 是視線旋轉率，而 ${\textstyle V}$ 是逼近速度（closing velocity）。

由於視線通常不與飛彈速度向量共線，所施加的加速度不一定會保持飛彈的動能。實際上，在缺乏發動機節流能力的情況下，這種控制可能無法實現。

在3D空間中，比例導引可以使用垂直於瞬時相對速度的加速度 ${\textstyle {\vec {a}}}$ 來實現：

${\vec {a}}=N{\vec {V}}_{r}\times {\vec {\Omega }}$

${\vec {\Omega }}={\frac {{\vec {R}}\times {\vec {V}}_{r}}{{\vec {R}}\cdot {\vec {R}}}}$

其中 $\Omega$ 是視線的角速度向量， ${\vec {V}}_{r}={\vec {V}}_{t}-{\vec {V}}_{m}$ 是目標相對於飛彈的速度，而 ${\vec {R}}={\vec {R}}_{t}-{\vec {R}}_{m}$ 是目標的相對位置。這個加速度明確地取決於相對速度向量，這在實踐中可能難以獲得。相比之下，在隨後的表達式中，僅依賴於視線的變化和逼近速度的大小。在真實比例導引（true proportional navigation）中，加速度 ${\textstyle {\vec {a}}}$ 垂直於視線， 並由下式給出：

${\vec {a}}=-N|{\vec {V}}_{r}|{\frac {\vec {R}}{|{\vec {R}}|}}\times {\vec {\Omega }}$

如果需要保持能量的控制（例如僅使用控制舵面的情況），可以使用垂直於飛彈速度的以下加速度：

${\vec {a}}=-N|{\vec {V}}_{r}|{\frac {{\vec {V}}_{m}}{|{\vec {V}}_{m}|}}\times {\vec {\Omega }}$

變體

沒有導引律能在所有情況下都是最佳的。最佳飛彈導引需要準確預測目標的行為。由於這通常不可能，比例導引已被改編成各種導引律以提高其靈活性。 上述描述的類型是純粹和真實比例導引。此外還有：

• 廣義比例導引（Generalized proportional navigation），其中加速度 $\vec a$ 不一定垂直於LOS向量，但與其保持恆定的角度。
• 增強比例導引（Augmented proportional navigation），它增加了一個項來補償目標加速度（如果可以測量的話）。

其他導引律，特別是使用最佳控制理論設計的導引律，在特定假設下可能優於比例導引。

在生物學中

霍爾頭食蟲虻 和 錐形同蠅 是兩種使用比例導引來捕獲獵物的掠食性蒼蠅。前者使用 $N \approx 3$，時間延遲約為 $28 \text{ ms}$，適用於其遠程攔截並最大限度地減少所需的控制努力。後者使用 $N \approx 1.5$，時間延遲約為 $18 \text{ ms}$，適用於其短程狩獵並有助於減少過度補償。

一種導致運動偽裝的導引律被許多掠食者物種使用。通過設置追擊，使掠食者相對於背景看似靜止但體積變大（real-point motion camouflage），或始終出現在固定方位角（infinite-point motion camouflage），掠食者減少了被發現的機會。這種導引律在數學上也與比例導引相關，類似地比純粹的追擊導引提供了更高的效率益處。無限點的情況（或「平行導航」）可以視為具有距離依賴性 $N$ 的純比例導引。

參見

• 運動偽裝