霍奇斯-莱曼估计

在统计学中，霍奇斯–莱曼估计量（Hodges-Lehmann estimator）是一种稳健且非参数的总体位置参数估计量。对于关于某一中位數对称的总体（例如高斯分布或正态分布、学生t分布），霍奇斯–莱曼估计量是总体中位数的一致且中位无偏估计。对于非对称总体，该估计量估计的是“伪中位数”，其与总体中位数密切相关。

霍奇斯–莱曼估计量最初是为估计一维总体的位置参数而提出的，但后来被广泛应用于更多场景，例如用于估计两个总体成员之间的差异。该方法已由单变量总体推广至多变量总体，从而可处理向量样本。

该估计量基于威尔科克森符号秩统计量。在统计理论中，它是早期出现的基于秩估计量之一；此类估计量在非参数统计学及稳健统计学中均具有重要意义。霍奇斯–莱曼估计量于1963年分别由普拉纳布·库马尔·森以及约瑟夫·霍奇斯与埃里希·莱曼独立提出，因此也被称为霍奇斯–莱曼–森估计量（Hodges–Lehmann–Sen estimator）。

定义

最简单的情况下，即中位成对均值时，霍奇斯-莱曼估计的计算方法可以简要描述为：对于一个包含n 个测量值的数据集，其所有可能的二元子集的集合为： $(z_{i},z_{j})$使得$i$ ≤ $j$ （即特指包含自配对），该集合有n(n+1)/2 个元素。对于每个这样的子集，计算均值；最后，计算这n(n+1)/2 个均值的中位数。该中位成对均值即为霍奇斯-莱曼估计。

对于对称总体，霍奇斯-莱曼估计也能估计母体的中位数。它是一个稳健的估计，其崩溃点为$1-(1/2)^{1/2}\approx$0.29，由戴维·多诺霍和Peter J. Huber在为埃里希·里奥·莱曼贺寿的纪念文集中证明。这意味着即使近 30% 的数据受到污染，该估计仍然保持稳健。这种稳健性是它相对于样本均值的一个重要优势，样本均值的崩溃点为零，与任何单个观测值成正比，因此很容易受到单个异常值的影响。样本中位数的稳健性更强，其崩溃点为 0.50，但它的标准误差和偏差通常更大。