Kronecker-Capelli定理

定理 — Kronecker-Capelli定理

克罗内克–卡佩利定理（英語：Kronecker–Capelli theorem，亦称Rouché–Capelli theorem）是線性代數中關於線性方程組可解性的經典定理，刻畫了係數矩陣與增廣矩陣的秩之間的關係。對於線性系統 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ，設係數矩陣 $A$ 的秩為 $r$ ，增廣矩陣 $[A\mid \mathbf {b} ]$ 的秩為 $R$ ，則：

當且僅當 $r=R$ ，系統有解；
若 $r=R=n$ （未知數個數為 $n$ ），則解唯一；
若 $r=R<n$ ，則有無窮多解；
若 $r<R$ ，則系統無解。

該定理常用於判斷線性方程組是否相容與解的數量情形，並與秩、零空間、列空間等概念緊密相關。定理名稱源於德國數學家利奧波德·克羅內克（Leopold Kronecker）與意大利數學家阿爾弗雷德·卡佩利（Alfredo Capelli）；在法語文獻中亦稱為魯歇–卡佩利定理（Rouché–Capelli）。

形式化表述

設 $A\in \mathbb {F} ^{m\times n}$ ， $\mathbf {b} \in \mathbb {F} ^{m}$ 。令 $\operatorname {rank} (A)=r$ ， $\operatorname {rank} ([A\mid \mathbf {b} ])=R$ 。

則以下敘述成立：

1. 線性系統 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 有解（相容）當且僅當 $r=R$ 。

2. 若 $r=R=n$ ，則解唯一；若 $r=R<n$ ，解集為仿射子空間，維度為 $n-r$ （即有無窮多解）。

3. 若 $r<R$ ，則系統不相容（無解）。

上述結論可由初等行列變換（高斯消去）與秩不變性證出：行列操作不改變秩；在化為行最簡形（RREF）後，若最後一列（增廣部分）在行空間中引入獨立行，則 $R>r$ ，對應於矛盾行（如 $0=\alpha \neq 0$ ），故無解。

歷史

該定理在十九世紀由克羅內克與卡佩利提出與系統化，後在法語傳統中因埃米爾·魯歇（Émile Rouché）與卡佩利而得名。其內涵實際上是線性代數基本工具（秩與相容性）的早期嚴格刻畫之一，與高斯消去法的理論基礎相匹配。

推論與等價敘述

與秩–零度定理（Rank–Nullity）相容：若 $r=R$ ，解集為 $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+{\mathcal {N}}(A)$ ，其中 ${\mathcal {N}}(A)$ 的維度為 $n-r$ 。
若 $A$ 滿秩（ $r=n$ ），則對任意 $\mathbf {b}$ 有唯一解；等價於 $A$ 可逆。
若 $r<n$ ，則存在某些 $\mathbf {b}$ 使得系統有解且不唯一（ $n-r$ 維），亦存在 $\mathbf {b}$ 使得無解。
幾何詮釋： $\mathbf {b}$ 是否屬於 $A$ 的列空間（像空間）決定相容性；相容時解集為某仿射平移的核。

範例

考慮二元三方程： ${\begin{aligned}x+y&=1\\2x+2y&=2\\3x+3y&=3\end{aligned}}$

其係數矩陣 $A={\begin{pmatrix}1&1\\2&2\\3&3\end{pmatrix}}$ ， $\operatorname {rank} (A)=1$ 。增廣矩陣 $[A\mid \mathbf {b} ]={\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}}$ ， $\operatorname {rank} ([A\mid \mathbf {b} ])=1$ ，故有解且不唯一： $x=1-t,\;y=t$ 。

再考慮： ${\begin{aligned}x+y&=1\\2x+2y&=3\end{aligned}}$

此時 $\operatorname {rank} (A)=1$ ，而 $\operatorname {rank} ([A\mid \mathbf {b} ])=2$ ，矛盾行出現（如 $0=1$ ），故無解。

與其他定理的關係

與高斯–若爾當消去法：該定理給出消去後相容性的秩判準。
與秩–零度定理：共同描述解集維度與存在性。
與最小二乘：當無解（ $r<R$ ）時，可考慮以最小二乘解近似。
與線性映射像與核：判斷 $\mathbf {b}$ 是否在像空間。

參見

參考資料

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks/Cole. 2006. ISBN 978-0-495-56162-0.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press. 2012. ISBN 978-0521548236.
Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 5th. Pearson. 2015. ISBN 978-0321982384.
Capelli, Alfredo. Su una classe di equazioni algebriche e sul metodo generale per risolverle. Rendiconti del R. Istituto Lombardo. 1892 （意大利语）.
Rouché, Émile. Sur les équations algébriques. Comptes Rendus. 1880 （法语）.
Rouché–Capelli theorem. English Wikipedia. [2025-12-01] （英语）.
Kronecker–Capelli定理（線性方程組相容性）. Wolfram MathWorld. [2025-12-01] （英语）.

外部連結