Kronecker-Capelli定理

定理 — Kronecker-Capelli定理

克罗内克–卡佩利定理（英语：Kronecker–Capelli theorem，亦称Rouché–Capelli theorem）是线性代数中关于线性方程组可解性的经典定理，刻画了系数矩阵与增广矩阵的秩之间的关系。对于线性系统 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ，设系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，增广矩阵 $[A\mid \mathbf {b} ]$ 的秩为 $R$ ，则：

当且仅当 $r=R$ ，系统有解；
若 $r=R=n$ （未知数个数为 $n$ ），则解唯一；
若 $r=R<n$ ，则有无穷多解；
若 $r<R$ ，则系统无解。

该定理常用于判断线性方程组是否相容与解的数量情形，并与秩、零空间、列空间等概念紧密相关。定理名称源于德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）与意大利数学家阿尔弗雷德·卡佩利（Alfredo Capelli）；在法语文献中亦称为鲁歇–卡佩利定理（Rouché–Capelli）。

形式化表述

设 $A\in \mathbb {F} ^{m\times n}$ ， $\mathbf {b} \in \mathbb {F} ^{m}$ 。令 $\operatorname {rank} (A)=r$ ， $\operatorname {rank} ([A\mid \mathbf {b} ])=R$ 。

则以下叙述成立：

1. 线性系统 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 有解（相容）当且仅当 $r=R$ 。

2. 若 $r=R=n$ ，则解唯一；若 $r=R<n$ ，解集为仿射子空间，维度为 $n-r$ （即有无穷多解）。

3. 若 $r<R$ ，则系统不相容（无解）。

上述结论可由初等行列变换（高斯消去）与秩不变性证出：行列操作不改变秩；在化为行最简形（RREF）后，若最后一列（增广部分）在行空间中引入独立行，则 $R>r$ ，对应于矛盾行（如 $0=\alpha \neq 0$ ），故无解。

历史

该定理在十九世纪由克罗内克与卡佩利提出与系统化，后在法语传统中因埃米尔·鲁歇（Émile Rouché）与卡佩利而得名。其内涵实际上是线性代数基本工具（秩与相容性）的早期严格刻画之一，与高斯消去法的理论基础相匹配。

推论与等价叙述

与秩–零度定理（Rank–Nullity）相容：若 $r=R$ ，解集为 $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+{\mathcal {N}}(A)$ ，其中 ${\mathcal {N}}(A)$ 的维度为 $n-r$ 。
若 $A$ 满秩（ $r=n$ ），则对任意 $\mathbf {b}$ 有唯一解；等价于 $A$ 可逆。
若 $r<n$ ，则存在某些 $\mathbf {b}$ 使得系统有解且不唯一（ $n-r$ 维），亦存在 $\mathbf {b}$ 使得无解。
几何诠释： $\mathbf {b}$ 是否属于 $A$ 的列空间（像空间）决定相容性；相容时解集为某仿射平移的核。

范例

考虑二元三方程： ${\begin{aligned}x+y&=1\\2x+2y&=2\\3x+3y&=3\end{aligned}}$

其系数矩阵 $A={\begin{pmatrix}1&1\\2&2\\3&3\end{pmatrix}}$ ， $\operatorname {rank} (A)=1$ 。增广矩阵 $[A\mid \mathbf {b} ]={\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}}$ ， $\operatorname {rank} ([A\mid \mathbf {b} ])=1$ ，故有解且不唯一： $x=1-t,\;y=t$ 。

再考虑： ${\begin{aligned}x+y&=1\\2x+2y&=3\end{aligned}}$

此时 $\operatorname {rank} (A)=1$ ，而 $\operatorname {rank} ([A\mid \mathbf {b} ])=2$ ，矛盾行出现（如 $0=1$ ），故无解。

与其他定理的关系

与高斯–若尔当消去法：该定理给出消去后相容性的秩判准。
与秩–零度定理：共同描述解集维度与存在性。
与最小二乘：当无解（ $r<R$ ）时，可考虑以最小二乘解近似。
与线性映射像与核：判断 $\mathbf {b}$ 是否在像空间。

参见

参考资料

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks/Cole. 2006. ISBN 978-0-495-56162-0.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press. 2012. ISBN 978-0521548236.
Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 5th. Pearson. 2015. ISBN 978-0321982384.
Capelli, Alfredo. Su una classe di equazioni algebriche e sul metodo generale per risolverle. Rendiconti del R. Istituto Lombardo. 1892 （意大利语）.
Rouché, Émile. Sur les équations algébriques. Comptes Rendus. 1880 （法语）.
Rouché–Capelli theorem. English Wikipedia. [2025-12-01] （英语）.
Kronecker–Capelli定理（線性方程組相容性）. Wolfram MathWorld. [2025-12-01] （英语）.

外部链接