User:Corindo/双全纯函数

双全纯映射（或称双全纯函数）是复分析中的概念，在复代数几何中也会出现。双全纯映射是指存在逆映射并且逆映射也是全纯映射的全纯映射。

严格定义

设有复空间$\mathbb {C} ^{n}$上的开子集：$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$。设$\varphi$是定义在$\Omega$上的全纯映射，其像集是$\mathbb {C} ^{n}$上的开子集：$\Gamma \subset \mathbb {C} ^{n}$。若$\varphi$是双射，而且它的逆映射$\varphi ^{-1}$是从$\Gamma$到$\Omega$上的全纯映射，就称$\varphi$是双全纯映射。

更一般的定义可以将以上定义中的$\Omega$和$\Gamma$改为复流形。

如果定义中的映射$\varphi$是单复变函数（自变量为一个复数，即n=1），那么可以将定义条件放宽：如果从$\Omega$映射到到$\Gamma$的全纯映射$\varphi$是单射，则$\varphi$是双全纯映射。因为这时可以证明，$\varphi$的逆映射也是全纯映射。

如果$\mathbb {C} ^{n}$上的两个开子集或复流形$\Omega$和$\Gamma$之间存在双全纯映射$\varphi :\,\Omega \mapsto \Gamma$，则称$\Omega$双全纯等价于$\Gamma$，或称$\Omega$和$\Gamma$双全纯等价。

与黎曼映射定理的关联

当n=1（即一维复空间）时，黎曼映射定理说明，任何单连通的开子集都双全纯等价于单位圆盘。而在高维复空间中，这个性质不再成立。在高维复空间中，单位球和单位多圆柱之间就不是双全纯等价的。事实上，两者之间甚至不存在真全纯映射。

等价定义

当n=1时，有些作者会将共形映射定义为导数不为零的单射：$\varphi :\,\Omega \mapsto \mathbb {C}$。在这个定义下，共形映射等价于双全纯映射。另一些作者则不要求共形映射是单射。这时定义的共形映射不一定是双全纯映射，但一定是局部双全纯映射。

参考

• John P. D'Angelo. Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces. CRC Press. 1993. ISBN 0-8493-8272-6. 
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables. American Mathematical Society. 2002. ISBN 0-8218-2724-3.