用戶:Corindo/雙全純函數

雙全純映射（或稱雙全純函數）是複分析中的概念，在復代數幾何中也會出現。雙全純映射是指存在逆映射並且逆映射也是全純映射的全純映射。

嚴格定義

設有復空間$\mathbb {C} ^{n}$上的開子集：$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$。設$\varphi$是定義在$\Omega$上的全純映射，其像集是$\mathbb {C} ^{n}$上的開子集：$\Gamma \subset \mathbb {C} ^{n}$。若$\varphi$是雙射，而且它的逆映射$\varphi ^{-1}$是從$\Gamma$到$\Omega$上的全純映射，就稱$\varphi$是雙全純映射。

更一般的定義可以將以上定義中的$\Omega$和$\Gamma$改為復流形。

如果定義中的映射$\varphi$是單複變函數（自變量為一個複數，即n=1），那麼可以將定義條件放寬：如果從$\Omega$映射到到$\Gamma$的全純映射$\varphi$是單射，則$\varphi$是雙全純映射。因為這時可以證明，$\varphi$的逆映射也是全純映射。

如果$\mathbb {C} ^{n}$上的兩個開子集或複流形$\Omega$和$\Gamma$之間存在雙全純映射$\varphi :\,\Omega \mapsto \Gamma$，則稱$\Omega$雙全純等價於$\Gamma$，或稱$\Omega$和$\Gamma$雙全純等價。

與黎曼映射定理的關聯

當n=1（即一維復空間）時，黎曼映射定理說明，任何單連通的開子集都雙全純等價於單位圓盤。而在高維復空間中，這個性質不再成立。在高維復空間中，單位球和單位多圓柱之間就不是雙全純等價的。事實上，兩者之間甚至不存在真全純映射。

等價定義

當n=1時，有些作者會將共形映射定義為導數不為零的單射：$\varphi :\,\Omega \mapsto \mathbb {C}$。在這個定義下，共形映射等價於雙全純映射。另一些作者則不要求共形映射是單射。這時定義的共形映射不一定是雙全純映射，但一定是局部雙全純映射。

參考

• John P. D'Angelo. Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces. CRC Press. 1993. ISBN 0-8493-8272-6. 
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables. American Mathematical Society. 2002. ISBN 0-8218-2724-3.