离散型均匀分布

离散型均匀分布

概率质量函数 n=5 where n=b-a+1
累积分布函数
参数	$a\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,$ $b\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,$ $n=b-a+1\,$
值域	$k\in \{a,a+1,...,b-1,b\}\,$
概率质量函数	${\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}$
累积分布函数	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {k-a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}$
期望	${\frac {a+b}{2}}\,$
中位数	${\frac {a+b}{2}}\,$
众数	N/A
方差	${\frac {n^{2}-1}{12}}\,$
偏度	$0\,$
峰度	$-{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,$
熵	$\ln(n)\,$
矩生成函数	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,$
特征函数	${\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}},$

在统计学及概率理论中，离散型均匀分布是一种离散型概率分布，其所有可能的观察值数量为有限整数，且每一个观察值的出现概率皆相同。

离散型均匀分布的一个例子是掷公平骰子，其可能的观察值为1﹑2﹑3﹑4﹑5﹑6，而每一个数字的出现概率都是1/6。但若同时丢二个均匀骰子，将其值相加，就不属于离散型均匀分布，因为各个和的概率不同。

虽然离散型均匀分布常用来描述观察值为连续整数的分布，例如前述的掷骰子范例，但实际上可以在任意有限集合上定义离散型均匀分布，例如随机置换就是由已知长度的置换中均匀随机产生的组合，而均匀生成树则是从给定图的生成树集合中均匀随机抽样得到的生成树。

离散型均匀分布在本质上是非参数（non-parametric）的。不过，当观察值的范围恰好是区间[a,b]之间的整数时，则a和b可以被视为该分布的参数（也常常改为考虑区间[1,n]，只保留一个参数n）。若用这种表示法，针对任意k ∈ [a,b]的累积分布函数（CDF）为

$F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$

最大值估计

主条目：德国坦克问题

关于离散型均匀分布的一个常见问题是德国坦克问题：假设从未知整数区间$[1,N]$抽样出$k$个观察值，目标是根据观察值估计未知最大值$N$的可能值。此问题于二战期间被用于估计德国坦克产量。

在此问题中，最大值的均匀最小方差无偏 (UMVU) 估计量为：

${\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1$

其中 m 是样本最大值，k 是样本大小，而且无放回抽样。 这可被看作为最大间距估计的一个非常简单的例子。

该估计量的方差为：

${\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N$

因此，估计量的标准差大约为${\tfrac {N}{k}}$，也就是样本之间差距的平均大小。

样本最大值$m$是总体最大值的最大似然估计，然而，该方法存在偏差。

若样本没有依序编号但可被识别或标记，则可透过标志重捕法以估计族群规模。

随机排列

主条目：随机数列

有关均匀分布随机排列的固定点数量的概率分布的说明，请参阅主条目。