離散型均勻分布

離散型均勻分布

機率質量函數 n=5 where n=b-a+1
累積分布函數
母數	$a\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,$ $b\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,$ $n=b-a+1\,$
值域	$k\in \{a,a+1,...,b-1,b\}\,$
機率質量函數	${\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}$
累積分布函數	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {k-a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}$
期望值	${\frac {a+b}{2}}\,$
中位數	${\frac {a+b}{2}}\,$
眾數	N/A
變異數	${\frac {n^{2}-1}{12}}\,$
偏度	$0\,$
峰度	$-{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,$
熵	$\ln(n)\,$
動差母函數	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,$
特徵函數	${\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}},$

在統計學及機率理論中，離散型均勻分布是一種離散型機率分布，其所有可能的觀察值數量為有限整數，且每一個觀察值的出現機率皆相同。

離散型均勻分布的一個例子是擲公平骰子，其可能的觀察值為1﹑2﹑3﹑4﹑5﹑6，而每一個數字的出現機率都是1/6。但若同時丟二個均勻骰子，將其值相加，就不屬於離散型均勻分布，因為各個和的機率不同。

雖然離散型均勻分布常用來描述觀察值為連續整數的分布，例如前述的擲骰子範例，但實際上可以在任意有限集合上定義離散型均勻分布，例如隨機置換就是由已知長度的置換中均勻隨機產生的組合，而均勻生成樹則是從給定圖的生成樹集合中均勻隨機抽樣得到的生成樹。

離散型均勻分布在本質上是無母數（non-parametric）的。不過，當觀察值的範圍恰好是區間[a,b]之間的整數時，則a和b可以被視為該分布的母數（也常常改為考慮區間[1,n]，只保留一個母數n）。若用這種表示法，針對任意k ∈ [a,b]的累積分布函數（CDF）為

$F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$

最大值估計

主條目：德國坦克問題

關於離散型均勻分布的一個常見問題是德國坦克問題：假設從未知整數區間$[1,N]$抽樣出$k$個觀察值，目標是根據觀察值估計未知最大值$N$的可能值。此問題於二戰期間被用於估計德國坦克產量。

在此問題中，最大值的均勻最小變異數不偏 (UMVU) 估計量為：

${\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1$

其中 m 是樣本最大值，k 是樣本大小，而且無放回抽樣。 這可被看作為最大間距估計的一個非常簡單的例子。

該估計量的變異數為：

${\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N$

因此，估計量的標準差大約為${\tfrac {N}{k}}$，也就是樣本之間差距的平均大小。

樣本最大值$m$是母體最大值的最大概似估計，然而，該方法存在偏差。

若樣本沒有依序編號但可被識別或標記，則可透過標誌重捕法以估計族群規模。

隨機排列

主條目：隨機數列

有關均勻分布隨機排列的固定點數量的機率分布的說明，請參閱主條目。