FTCS格式

数值分析里的FTCS是“前向时间中心空间”（forward time-centered space）的简称，是求解热传导方程式和其他抛物偏微分方程的有限差分法，在时间上是显式的一阶方法，若用在热传导方程下，会条件稳定。若用在移流方程，或是更广义的抛物偏微分方程，要加入人工的粘度才会稳定。FTCS的缩写最早是由Patrick Roache使用。

方法说明

FTCS格式是以时间上的前向欧拉方法以及空间上的中心差分为基础，在时间上有一阶收敛性，在空间上有二阶收敛性。例如，在一维下，若其偏微分方程为

${\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)$

可令$u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$，前向欧拉法如下：

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)$

函数$F$需要在空间上用中心差分架构进行离散化，这是显式方法，若$u$在之前时间$(n)$的值均已知，可以显式计算$u_{i}^{n+1}$，不需求解代数方程。因为此算法是显式的，在运算上的成本不高。

说明：一维热传导方程

FTCS方法常用在扩散方程，例如一维的热传导方程式

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

FTCS方法如下：

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

或者，令$r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$:

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)$

稳定性

利用冯诺依曼稳定性分析的推导，用FTCS方法一维热传导方程有数值稳定性，若且唯若以下条件满足：

$\Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.$

也就是说，为了让FTCS方法稳定，需选择$\Delta x$和$\Delta t$满足上式，若是二维问题，条件如下

$\Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.$

若选择${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$，则稳定条件会是${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$, ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$和${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$，分别针对一维、二维和三维的问题。

FTCS法的主要缺点是若问题的扩散系数$\alpha$很大，符合条件的步阶会很小，因此不实用。

针对双曲型偏微分方程，线性微分方程是常系数的移流方程，和热传导方程式（或扩散方程）不同，这两个是抛物偏微分方程的正确选择。 目前已知针对双曲型偏微分方程，任何的$\Delta t$都会造成不稳定

相关条目

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