FTCS格式

數值分析裏的FTCS是「前向時間中心空間」（forward time-centered space）的簡稱，是求解熱傳導方程式和其他拋物偏微分方程的有限差分法，在時間上是顯式的一階方法，若用在熱傳導方程下，會條件穩定。若用在移流方程，或是更廣義的拋物偏微分方程，要加入人工的粘度才會穩定。FTCS的縮寫最早是由Patrick Roache使用。

方法說明

FTCS格式是以時間上的前向歐拉方法以及空間上的中心差分為基礎，在時間上有一階收斂性，在空間上有二階收斂性。例如，在一維下，若其偏微分方程為

${\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)$

可令$u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$，前向歐拉法如下：

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)$

函數$F$需要在空間上用中心差分架構進行離散化，這是顯式方法，若$u$在之前時間$(n)$的值均已知，可以顯式計算$u_{i}^{n+1}$，不需求解代數方程。因為此算法是顯式的，在運算上的成本不高。

說明：一維熱傳導方程

FTCS方法常用在擴散方程，例如一維的熱傳導方程式

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

FTCS方法如下：

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

或者，令$r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$:

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)$

穩定性

利用馮諾依曼穩定性分析的推導，用FTCS方法一維熱傳導方程有數值穩定性，若且唯若以下條件滿足：

$\Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.$

也就是說，為了讓FTCS方法穩定，需選擇$\Delta x$和$\Delta t$滿足上式，若是二維問題，條件如下

$\Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.$

若選擇${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$，則穩定條件會是${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$, ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$和${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$，分別針對一維、二維和三維的問題。

FTCS法的主要缺點是若問題的擴散系數$\alpha$很大，符合條件的步階會很小，因此不實用。

針對雙曲型偏微分方程，線性微分方程是常系數的移流方程，和熱傳導方程式（或擴散方程）不同，這兩個是拋物偏微分方程的正確選擇。 目前已知針對雙曲型偏微分方程，任何的$\Delta t$都會造成不穩定

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