降次積分法

降次積分法是求高次函數積分的一種技巧。先用換元積分法、三角換元法、分部積分法、部分分式積分法等方法求出降次公式，將原函數（如$I_{n}$）用低次的函數形式（如_{$I_{n-2}$}）表示。然後將$n$代成想求的數，逐步降次，直至降至0或1為止，藉助積分表得出結果。

例子

如在求$\int \cos ^{5}(x)\,dx\!$時，需要先求得$\int \cos ^{n}(x)\,dx\!$的降次公式，過程如下：

$I_{n}\,=\int \cos ^{n}(x)\,dx\!$

$=\int \cos ^{n-1}(x)\cos(x)\,dx\!$

$=\int \cos ^{n-1}(x)\,d(\sin(x))\!$

$=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)-\int \sin(x)\,d(cos^{n-1}(x))\!$

$=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+(n-1)\int \sin(x)\cos ^{n-2}(x)\sin(x)\,dx\!$

$=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)\sin ^{2}(x)\,dx\!$

$=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)(1-\cos ^{2}(x))\,dx\!$

$=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)\,dx-(n-1)\int \cos ^{n}(x)\,dx\!$

$=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\,$

$I_{n}+(n-1)I_{n}=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+(n-1)I_{n-2}\,$

$nI_{n}=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+(n-1)I_{n-2}\,$

$I_{n}={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+{\frac {n-1}{n}}I_{n-2}\,$

---

因此$\int \cos ^{n}(x)\,dx\!$可表示為：

$\int \cos ^{n}(x)\,dx={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}(x)\sin(x)+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}(x)\,dx\!$

將n=5代入，可得：

$n=5\,$：$I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}(x)\sin(x)+{\tfrac {4}{5}}I_{3}\,$

$n=3\,$：$I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}(x)\sin(x)+{\tfrac {2}{3}}I_{1}\,$

$\because I_{1}=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C_{1}\,$

$\therefore I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}(x)\sin(x)+{\tfrac {2}{3}}\sin(x)+C_{2}\,$，$C_{2}={\tfrac {2}{3}}C_{1}\,$

$I_{5}={\frac {1}{5}}\cos ^{4}(x)\sin(x)+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}(x)\sin(x)+{\frac {2}{3}}\sin(x)\right]+C\,$，C為常數

常見降次公式

除了上述的$\int \cos ^{n}(x)\,dx\!$外，常見的降次公式還有：

$\int \sin ^{n}(x)\,dx=-{\frac {1}{n}}\sin ^{n-1}(x)\cos(x)+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}(x)\,dx\!$

$\int \tan ^{n}(x)\,dx={\frac {1}{n-1}}\tan ^{n-1}(x)-\int \tan ^{n-2}(x)\,dx\!$

$\int (\ln(x))^{n}\,dx=x(\ln(x))^{n}-n\int (\ln(x))^{n-1}\,dx\!$