韋伯函數

韋伯函數2D動畫示意圖

韋伯函數3D Maple plot

韋伯函數（Weber function）也稱為龍梅爾-韋伯函數（Lommel-Weber function），是1879年德國物理學家海因里希·弗里德里希·韋伯（Heinrich Friedrich Weber）首先研究的函數，由下列定積分定義：

$\mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta$

微分方程

韋伯函數滿足下列微分方程

$z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-((z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi z))/\pi .$

參考文獻

• A.P.Prudnikov, Weber function, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英語） 
• George Neville Watson."A treatise on the theory of Bessel functions".1–2.Cambridge University Press (1952)
• Heinrich Friedrich Weber.Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879) pp. 33–76