利布-舒尔茨-马蒂斯定理

利布-舒尔茨-马蒂斯（Lieb–Schultz–Mattis）定理，简称：LSM 定理，是凝聚态理论物理中的一个重要结果。它最早是用来研究一维的量子自旋系统，例如海森堡模型。简单来说，这个定理告诉我们：如果一条自旋链（想像成一排小磁针）同时具有平移对称性（每个位置看起来都一样）和旋转对称性（磁针方向可以自由旋转），而且每个磁针的自旋是“半整数”的话，那么这个系统就不可能拥有一个唯一且有能隙的基态。

换句话说，这样的量子系统在最低能量状态下，一定会有某种“退不掉的复杂性”：要嘛基态是多重的，要嘛系统保持在一种没有能隙的“临界状态”。这个结论非常深刻，因为它说明了对称性和微观结构会严格限制一个系统的低能行为。

LSM 定理不只是数学上的巧妙推论，它对实验物理也有巨大影响。特别是在寻找“量子自旋液体”这种奇特的物质状态时，LSM 定理提供了方向和判断的依据。在过去几十年里，科学家们把 LSM 定理推广到更广泛的情况：不只是单纯的一维自旋链，还包括高维系统、具有离散对称性的模型，甚至是涉及费米子的系统或是开放量子系统。这些研究显示，LSM 定理是理解量子磁性和强关联电子行为的一把钥匙。

LSM 定理命题与证明

以下详细介绍原始 LSM 定理的数学命题与证明，仅适合对量子力学的数学工具（例如：bra-ket）和自旋有一定熟悉程度的读者。

数学命题

考虑一维反铁磁海森堡模型，其哈密顿量是

$H=J\sum _{j=1}^{L-1}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+J{\vec {S}}_{L}\cdot {\vec {S}}_{1}$

其中 $J>0$ 且 $L$ 是偶数。对于半整数的自旋炼，例如：$S=1/2,3/2,...$，存在一个激发态使得激发能量在 $L\to 0$ 极限下为零。

考虑基态为 $|\Psi _{0}\rangle$，满足 $H|\Psi _{0}\rangle =E_{0}|\Psi _{0}\rangle$，其中 $E_{0}$是基态能量。定义扭转算符 ${\mathcal {O}}$ 如下：

${\mathcal {O}}=\exp \left(i{\frac {2\pi }{L}}\sum _{j=1}^{L}jS_{j}^{z}\right)$

此扭转算符将自旋炼上每一个自旋按照不同的位置 $j$ 延 $z$ 轴旋转 $\theta _{j}={\frac {2\pi }{L}}j$ 的角度。定义扭转态 $|\Psi _{T}\rangle$ 为扭转算符作用在基态上，$|\Psi _{T}\rangle ={\mathcal {O}}|\Psi _{0}\rangle$。

原始 LSM 定理包含两个以下命题。

命题 1

扭转态是一个不同于基态的本征态，也就是说扭转态和基态正交。

$\langle \Psi _{T}|\Psi _{0}\rangle =0$

命题 2

扭转态的能量期望值和基态能量的差在热力学极限下趋近于零。

$\lim _{L\to \infty }[\langle \Psi _{T}|H|\Psi _{T}\rangle -E_{0}]\to 0$