利布-舒爾茨-馬蒂斯定理

利布-舒爾茨-馬蒂斯（Lieb–Schultz–Mattis）定理，簡稱：LSM 定理，是凝聚態理論物理中的一個重要結果。它最早是用來研究一維的量子自旋系統，例如海森堡模型。簡單來說，這個定理告訴我們：如果一條自旋鏈（想像成一排小磁針）同時具有平移對稱性（每個位置看起來都一樣）和旋轉對稱性（磁針方向可以自由旋轉），而且每個磁針的自旋是「半整數」的話，那麼這個系統就不可能擁有一個唯一且有能隙的基態。

換句話說，這樣的量子系統在最低能量狀態下，一定會有某種「退不掉的複雜性」：要嘛基態是多重的，要嘛系統保持在一種沒有能隙的「臨界狀態」。這個結論非常深刻，因為它說明了對稱性和微觀結構會嚴格限制一個系統的低能行為。

LSM 定理不只是數學上的巧妙推論，它對實驗物理也有巨大影響。特別是在尋找「量子自旋液體」這種奇特的物質狀態時，LSM 定理提供了方向和判斷的依據。在過去幾十年裡，科學家們把 LSM 定理推廣到更廣泛的情況：不只是單純的一維自旋鏈，還包括高維系統、具有離散對稱性的模型，甚至是涉及費米子的系統或是開放量子系統。這些研究顯示，LSM 定理是理解量子磁性和強關聯電子行為的一把鑰匙。

LSM 定理命題與證明

以下詳細介紹原始 LSM 定理的數學命題與證明，僅適合對量子力學的數學工具（例如：bra-ket）和自旋有一定熟悉程度的讀者。

數學命題

考慮一維反鐵磁海森堡模型，其哈密頓量是

$H=J\sum _{j=1}^{L-1}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+J{\vec {S}}_{L}\cdot {\vec {S}}_{1}$

其中 $J>0$ 且 $L$ 是偶數。對於半整數的自旋鍊，例如：$S=1/2,3/2,...$，存在一個激發態使得激發能量在 $L\to 0$ 極限下為零。

考慮基態為 $|\Psi _{0}\rangle$，滿足 $H|\Psi _{0}\rangle =E_{0}|\Psi _{0}\rangle$，其中 $E_{0}$是基態能量。定義扭轉算符 ${\mathcal {O}}$ 如下：

${\mathcal {O}}=\exp \left(i{\frac {2\pi }{L}}\sum _{j=1}^{L}jS_{j}^{z}\right)$

此扭轉算符將自旋鍊上每一個自旋按照不同的位置 $j$ 延 $z$ 軸旋轉 $\theta _{j}={\frac {2\pi }{L}}j$ 的角度。定義扭轉態 $|\Psi _{T}\rangle$ 為扭轉算符作用在基態上，$|\Psi _{T}\rangle ={\mathcal {O}}|\Psi _{0}\rangle$。

原始 LSM 定理包含兩個以下命題。

命題 1

扭轉態是一個不同於基態的本徵態，也就是說扭轉態和基態正交。

$\langle \Psi _{T}|\Psi _{0}\rangle =0$

命題 2

扭轉態的能量期望值和基態能量的差在熱力學極限下趨近於零。

$\lim _{L\to \infty }[\langle \Psi _{T}|H|\Psi _{T}\rangle -E_{0}]\to 0$