辛普森积分法

辛普森法则（英语：Simpson's rule）是一种数值积分方法，是牛顿-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式，以求得定积分的数值近似解。最基本的近似，称为辛普森1/3法，其近似公式如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$

辛普森3/8法在积分范围内多一个要求值的点，误差范围比较小，而且不会增加误差的阶数。

该方法由英国数学家托马斯·辛普森所创立。

简化公式

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}$

• h是立体（常指拟柱体）的高度
• a是下底面积
• b是中间截面面积（在一半高度上的截面面积）
• c是上底面积

棱柱和圆柱（$a=b=c$）

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h\cdot 6a}{6}}=ha$(棱柱和圆柱的体积=底面积*高)

棱锥和圆锥（a=4b,c=0）

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+{\frac {4a}{4}}+0)}{6}}={\frac {ah}{3}}$

(棱锥和圆锥的面积=等底、等高的圆柱、棱柱体积的1/3)

圆台

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {\pi h(R^{2}+Rr+r^{2})}{3}}$

球体

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {2R(0+4\pi R^{2}+0)}{6}}={\frac {4\pi R^{3}}{3}}$

公式还可以用于计算平面形面积例如：平行四边形、梯形、三角形……

平行四边形（正方形、矩形等）

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}=ah$

(平行四边形的面积等于底乘高)

梯形

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+c)}{2}}$

三角形

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {ah}{2}}$

辛普森3/8法

辛普森3/8法是辛普森提出的另一个数值积分方法，是以三次内插为基础，公式如下： $${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}$$ 其中$h=(b-a)/3$是间隔长度。

此方法的误差为 $$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),$$ 其中$\xi$是$a$和$b$之间的某数值。因此，辛普森3/8法的准确度约是辛普森1/3法的二倍，但是也多计算一次

参见

• 梯形公式
• 牛顿-寇次公式
• 数值积分

参考资料

• Matthews, John H. Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration. Numerical Analysis - Numerical Methods Project. California State University, Fullerton. 2004 [November 11, 2008]. （原始内容存档于December 4, 2008）.