辛普森積分法

辛普森法則（英語：Simpson's rule）是一種數值積分方法，是牛頓-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。最基本的近似，稱為辛普森1/3法，其近似公式如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$

辛普森3/8法在積分範圍內多一個要求值的點，誤差範圍比較小，而且不會增加誤差的階數。

該方法由英國數學家托馬斯·辛普森所創立。

簡化公式

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}$

• h是立體（常指擬柱體）的高度
• a是下底面積
• b是中間截面面積（在一半高度上的截面面積）
• c是上底面積

稜柱和圓柱（$a=b=c$）

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h\cdot 6a}{6}}=ha$(稜柱和圓柱的體積=底面積*高)

稜錐和圓錐（a=4b,c=0）

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+{\frac {4a}{4}}+0)}{6}}={\frac {ah}{3}}$

(稜錐和圓錐的面積=等底、等高的圓柱、稜柱體積的1/3)

圓台

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {\pi h(R^{2}+Rr+r^{2})}{3}}$

球體

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {2R(0+4\pi R^{2}+0)}{6}}={\frac {4\pi R^{3}}{3}}$

公式還可以用於計算平面形面積例如：平行四邊形、梯形、三角形……

平行四邊形（正方形、矩形等）

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}=ah$

(平行四邊形的面積等於底乘高)

梯形

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+c)}{2}}$

三角形

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {ah}{2}}$

辛普森3/8法

辛普森3/8法是辛普森提出的另一個數值積分方法，是以三次內插為基礎，公式如下： $${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}$$ 其中$h=(b-a)/3$是間隔長度。

此方法的誤差為 $$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),$$ 其中$\xi$是$a$和$b$之間的某數值。因此，辛普森3/8法的準確度約是辛普森1/3法的二倍，但是也多計算一次

參見

• 梯形公式
• 牛頓-寇次公式
• 數值積分

參考資料

• Matthews, John H. Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration. Numerical Analysis - Numerical Methods Project. California State University, Fullerton. 2004 [November 11, 2008]. （原始內容存檔於December 4, 2008）.